Definición de producto exterior

Question

Estoy tratando de entender el concepto de producto exterior en la mecánica cuántica. He leído "Quantum Computing explained" de David MacMahon.

Puedo entender la transición en (3.12): $$(|\psi\rangle \langle \phi | )|\chi\rangle \rightarrow |\psi\rangle \langle \phi |\chi\rangle $$

Pero cómo conseguir $(\langle \phi | \phi | \chi \rangle ) | \psi \rangle$ ?

¿Por qué es posible superar estos pasos?

1. $|\psi\rangle \langle \phi | \chi\rangle $
2. $|\psi\rangle \langle \phi | \phi | \chi\rangle $
3. $\langle \phi | \phi | \chi\rangle |\psi\rangle $

Answer 1

Estoy pensando que es una errata, y que lo único que quería el autor en el último término era escribir $$ (\langle \phi|\chi\rangle)\,|\psi\rangle. $$ La prueba utiliza que tienes un tipo de asociatividad en la primera igualdad $(|\psi\rangle\langle\phi|)\,|\chi\rangle= |\psi\rangle\,\langle\phi|\chi\rangle$ que creo que se saca de la manga si se introducen sujetadores y kets de la nada.

La igualdad es obvia si se observa que los kets como simples vectores columna en $\mathbb C^n$ y los sujetadores son sus adjuntos (transposición conjugada). En esta situación, su igualdad es $$ (\psi\phi^*)\,\chi=\psi\,(\phi^*\chi)=(\phi^*\chi)\,\psi, $$ donde la asociatividad es la del producto de matrices.