Estimar al probar que la inestabilidad lineal implica inestabilidad no lineal.

Question

Estoy tratando de demostrar que el ejercicio en la página 3 de http://depts.washington.edu/bdecon/workshop2012/g_stability.pdf. Esta pregunta ya fue hecho antes aquí: Lineal inestabilidad implica no lineal de la inestabilidad. En la prueba contenida en la respuesta, nos vamos a $Lv=\lambda v$ con $\mathcal{Re}\lambda > 0$ y deje $\|\cdot\| = \|\cdot\|_{L^{\infty}([0,t),(X,\|\cdot\|))}$. La siguiente estimación se hizo:

$$\|u(t)-e^{Lt}\delta v\|\leq\|u(t)\|^2\int_0^te^{(\lambda+\epsilon)(t-s)}ds\leq\frac{2}{\mathcal{Re}\lambda}\|u(t)\|^2$$ para $\epsilon$ suficientemente pequeño. Mi pregunta es, ¿cómo es que este segundo desigualdad verdadera? Esta desigualdad implica que $\int_0^te^{(\lambda+\epsilon)(t-s)}ds\leq\frac{2}{\mathcal{Re}\lambda}$, pero uno puede fácilmente evaluar la integral para encontrar ese $\int_0^te^{(\lambda+\epsilon)(t-s)}ds=\frac{e^{(\lambda+\epsilon)t}-1}{\lambda+\epsilon}$, que está creciendo de manera exponencial en el tiempo para cualquier $\epsilon >0$. Esto se dice para ser cierto para todos los $t\geq 0$, pero obviamente no puede ser cierto si el lado izquierdo está creciendo de manera exponencial y el lado derecho es constante. Si alguien pudiera explicar lo que paso me estoy perdiendo aquí o proporcionar su propia prueba de esta afirmación, me sería de gran aprecio.

Answer 1

Autor de la pregunta que se hace referencia escribe:

Me indican por $\|u\|_{L^\infty([0,t),(X,\|\cdot\|))}\leq C_0$ el hecho de que la desigualdad de la pregunta, es cierto sólo en la medida como $u(t)$ se mantiene cerca de $0$.

Y más tarde, se obtiene:

$$\|u(t)-e^{Lt}\delta v\|\leq \|u\|_{L^\infty([0,t),(X,\|\cdot\|))}^2\int_0^te^{(\epsilon+\mathcal Re\, \lambda)(t-s)}\,ds\leq \frac 2{\mathcal Re\, \lambda}\|u\|_{L^\infty([0,t),(X,\|\cdot\|))}^2,$$

Tenga en cuenta que tenemos extra subíndices por la norma símbolos. Esto es para indicar que estas desigualdades se mantenga sólo para algunas inicial de la cantidad de tiempo (es decir, deben ser interpretadas como para suficientemente pequeño $t$)