Demostrar o refutar: $f:\mathcal{A}^\mathbb{N} \rightarrow \mathcal{B}$ es continua $\iff$ $f$ depende de un número finito de coordenadas

Question

Problema : Demostrar o refutar que para un conjunto finito $\mathcal{A}$ y $\mathcal{B}$ ambos dotados de topología discreta, la función $f:\mathcal{A}^\mathbb{N} \rightarrow \mathcal{B}$ es continua si y sólo si $f$ depende de un número finito de coordenadas en $\mathcal{A}^\mathbb{N}$ .

(Nota: $f$ depende de un número finito de coordenadas en $\mathcal{A}^{\mathbb{N}}$ si y sólo si existe $n\in \mathbb{N}$ y una función $g:\mathcal{A}^n \rightarrow \mathcal{B}$ tal que para cualquier $(x_i)_{i\in\mathbb{N}} \in \mathcal{A}^\mathbb{N}$ , $f((x_i)_{i\in\mathbb{N}})=g(x_1x_2...x_n)$ .)

Puedo demostrar que si $f$ depende de un número finito de coordenadas, entonces $f$ debe ser continua. Sin embargo, para otra dirección, intuitivamente creo que también debe ser cierto, pero no puedo demostrarlo. Aquí está mi intento:

Intento : Para evitar la trivialidad, supongamos que $|\mathcal{A}|>1$ , $|\mathcal{B}|>1$ y $|f(\mathcal{A}^\mathbb{N})|>1$ . Para cualquier $n \in \mathbb{N}$ y cualquier $a_i \in \mathcal{A}$ definan el conjunto de cilindros $$C[a_1a_2...a_n]=\{(x_i)_{i\in\mathbb{N}} \in \mathcal{A}^\mathbb{N} \mid x_1x_2...x_n=a_1a_2...a_n\}.$$ Llamemos a $n$ como la longitud del conjunto de cilindros. Según algunas lecturas, la colección de todos los conjuntos de cilindros es la base de la topología del producto discreto en $\mathcal{A}^\mathbb{N}$ .

Dejemos que $b \in f(\mathcal{A}^\mathbb{N})$ . Desde $f$ es continua, $f^{-1}(\{b\})$ está abierto. Por definición de base, $f^{-1}(\{b\})$ es la unión de alguna colección de conjuntos de cilindros. Por la propiedad de los conjuntos cilíndricos, si dos conjuntos cilíndricos se cruzan, uno de ellos es un subconjunto de otro. Por lo tanto, podemos suponer que $f^{-1}(\{b\})$ es la unión de una colección de conjuntos cilíndricos disjuntos.

Mi siguiente idea es demostrar que la colección de conjuntos de cilindros anterior es finita. Si esto es cierto, entonces establecemos $\ell$ para ser la mayor longitud de los conjuntos de cilindros de la colección. Por lo tanto, para cualquier $(x_i)_{i\in\mathbb{N}} \in \mathcal{A}^\mathbb{N}$ es suficiente con comprobar que $x_1x_2...x_{\ell}$ para determinar si $f((x_i)_{i\in\mathbb{N}})=b$ . Podemos hacer esto para cualquier $b \in f(\mathcal{A}^\mathbb{N})$ .

Sin embargo, estoy atascado en probar que $f^{-1}(\{b\})$ es el finito unión de alguna colección de conjuntos cilíndricos disjuntos por pares.

Pregunta: ¿Puede alguien ayudarme a continuar con mi prueba? ¿O hay alguna otra forma de probar esto? ¿O esta afirmación es errónea?

Answer 1

Es trivial que si $f$ depende de un número finito de coordenadas, entonces $f$ es continua, en esta configuración: $\mathcal{A}^n$ es discreto (como $n$ es finito y $\mathcal{A}$ es discreto) por lo que $g$ es siempre continua como función en un espacio discreto y por definición $f= g \circ \pi_n$ , donde $\pi_n: \mathcal{A}^\mathbb{N} \to \mathcal{A}^n$ es la proyección sobre la primera $n$ coordenadas (continuas por la definición de la topología del producto) por lo que $f$ también es continua como composición de mapas continuos.

La otra dirección también es bastante sencilla: $f^{-1}[\{b\}]$ es un subconjunto compacto (y abierto) de $\mathcal{A}^\mathbb{N}$ y, por tanto, una unión finita de conjuntos abiertos básicos (es decir, conjuntos cilíndricos):

$$f^{-1}[\{b\}]= \bigcup \{ C[F], F \in \mathcal{F}_b\}$$

donde $C[F]$ es un conjunto cilíndrico basado en una tupla finita $F$ de alguna potencia finita $\mathcal{A}^{n(F)}$ y recogemos todo lo necesario $F$ para la fibra en algún conjunto finito de tuplas $\mathcal{F}_b$ .

Entonces $N=\max\{n(F): F \in \cup_{b \in B} \mathcal{F}_b\}$ es un número entero bien definido (finito) y entonces se puede ir a demostrar que (fijando algunos $a_0 \in \mathcal{A}$ ) que $g(x_1,\ldots,x_N) = f(x_1,x_2,\ldots,x_N, a_0,a_0,\ldots)$ está bien definida (es decir, no depende de cómo rellenemos las coordenadas finales) y atestigua el hecho de que $f$ depende de la primera $N$ coordenadas.

Answer 2

Tengo algunas ideas pero no sé si son correctas.

Una primera pequeña observación puede ser que su problema puede ser formulado también para el caso en que $\mathcal{B}$ es un conjunto infinito con la topología discreta porque $\mathcal{A}$ es finito, por lo que es compacto, entonces por el teorema de Tychonoff se tiene que $\mathcal{A}^\mathbb{N}$ es un espacio compacto. Pero

$\mathcal{A}^\mathbb{N}=f^{-1}(\mathcal{B})=\bigcup_{b\in \mathcal{B}}f^{-1}(b)$

Así que $\{f^{-1}(b): b\in \mathcal{B}\}$ es una tapa abierta de $\mathcal{A}^\mathbb{N}$ que es compacto por lo que existe $b_1,\dots ,b_n$ tal que

$\mathcal{A}^\mathbb{N}=f^{-1}(b_1)\cup \dots \cup f^{-1}(b_n)=f^{-1}(b_1,\dots ,b_n)$

Así que

$f(\mathcal{A}^\mathbb{N})=\{b_{i_1},\dots , b_{i_m} \}$ donde $ i_1,\dots i_m\in \{1,\dots n\} \}$

Si $\mathcal{A}^\mathbb{N}=f^{-1}(b)$ para algunos $b\in \mathcal{B}$ entonces puede definir $g:\mathcal{A}\to \mathcal{b}$ y para todos $(x_i)_{i\in \mathbb{N}}$ tienes que $f((x_i)_i)=b=g(x_1)$ por lo que podemos suponer que $f^{-1}(b)$ son subconjuntos adecuados de $\mathcal{A}^\mathbb{N}$

Ahora podemos observar que $f^{-1}(b)$ es también un conjunto cerrado de la topología del producto en $\mathcal{A}^\mathbb{N}$ que es compacto por lo que también $f^{-1}(b)$ es compacta, por lo que existe un número finito de subconjuntos abiertos básicos adecuados tales que

$\mathcal{A}^\mathbb{N}=\bigsqcup_{b\in \mathcal{B}}(\bigcup_{k=1}^{n_b} \pi^{-1}_{i_1,b}(A_{i_1,b})\cap \dots \cap \pi^{-1}_{i_{n_b},b}(A_{i_{n_b},b}))$

donde $f^{-1}(b)= \bigcup_{k=1}^{n_b} \pi^{-1}_{i_1,b}(A_{i_1,b})\cap \dots \cap \pi^{-1}_{i_{n_b},b}(A_{i_{n_b},b})) $

Ahora puede definir

$n:= max\{(i_k,b): k\in \{1,\dots n_b\}, b\in \mathcal{B}\}$

y su mapa será

$g: \mathcal{A}^n\to \mathcal{b}$ tal que para todo $(x_1,\dots x_n)$ si

$(x_1,\dots ,x_n, x_1,\dots ,x_1,\dots )\in f^{-1}(b)$ entonces

$g(x_1,\dots, x_n):=b$