¿Por qué wolfram responde como tal en este ejemplo para la superficie y el volumen de revolución en un área que cruza el eje?

Question

Calcula el volumen y la superficie del sólido $S$ que se obtiene al girar la región $R$ (en la foto de abajo) que se adjunta a los gráficos $y=q(x)=-(2x^2-7x+3),x=1,x=2$ y $y=-1$ alrededor de la $x$ -eje, que atraviesa la región .

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Volumen:

Sólo puedo considerar la región $T$ encerrado en los gráficos $y=q(x),x=1,x=2$ y el $x$ -(en lugar de $y=-1$ ) porque el solapamiento ( Volumen de revolución en un área que cruza el eje ), visto precisamente en la desigualdad $|q| > |-1|$ para $x = 1$ a $2$ significa que el sólido $P$ de la región $T$ es idéntica a $S$ . Es decir $\text{Vol}(P) = \text{Vol}(S)$ porque $P=S$ ?

Actualización: Wolfram ( P sólido y Sólido S ) dice $\pi + \frac{107 \pi}{15} = \text{Vol}(P) \ne \text{Vol}(S) = \frac{107 \pi}{15}$ .

• Me doy cuenta $\pi$ es el volumen del sólido $M$ que se obtiene al girar el cuadrado $N$ encerrado por $y=0$ y $y=-1$ de $x=1$ a $2$ .

• ¿Será que Wolfram interpreta el cálculo del volumen de Sólido S como $'\text{Vol}(S)' = \text{Vol}(P) + \text{Vol}(M)$ ?

• Tal vez no porque Wolfram parece que está computando $$\int_1^2 \pi |\color{red}{-1} + (-q)^2| dx = \int_1^2 \pi |-(-1)^2 + (q)^2| dx$$ Por lo tanto, el $\color{red}{-1}$ ' es en realidad ' $-(-1)^2$ ' en lugar del original ' $y=-1$ '? Con suerte, Wolfram asume que el eje no corta el interior de la región.

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Superficie:

Para la superficie, ¿tenemos $\text{SA}(P) = \text{SA}(S)$ porque $P=S$ ¿También?

Actualización: Wolfram ( P sólido y Sólido S ) dice $\text{SA}(P) = \text{SA}(S)$ pero en realidad creo que la respuesta debería ser $\text{the SA}(P)\text{ that wolfram gives} - 13 \pi$ . ¿De dónde viene este extra $13 \pi$ ¿vienen por favor?

Answer 1

Al parecer, en la interpretación de Wolfram Alpha, dos regiones situadas en lados opuestos del eje se anulan mutuamente en lugar de limitarse a reafirmar que los puntos barridos por ambas forman parte del sólido.

De ahí que, como vemos en las figuras de las dos páginas que has enlazado la figura que está acotada en el $x$ -produce un sólido sin agujeros, mientras que la figura delimitada por $y = -1$ produce un sólido con un agujero cilíndrico de radio $1$ perforado a través del eje del sólido.

El resultado es aún más complicado si la región más grande se extiende más allá del $x$ en dirección positiva para algunos valores de $x$ y más lejos en la dirección negativa para otros valores de $x,$ como en este ejemplo, delimitado por la línea $y=-3$ .

Supongo que se podría discutir si ésta es una buena interpretación. Podría reducirse a esto: ¿cuál es el propósito de rotar una región que cruza el eje de rotación?

Para la superficie, Wolfram Alpha aparentemente cuenta todo de la superficie del sólido, incluyendo el área en los "extremos" planos del sólido, no sólo las partes formadas por la rotación de partes de las curvas $y=2x^2-7x+3$ y $y=-1.$ Para P sólido que no tiene ningún agujero, la superficie total incluye el disco de radio $2$ (área $4\pi$ ) en $x = 1$ y el disco de radio $3$ (área $9\pi$ ) en $x=2,$ que contribuyen a $13\pi$ a la superficie total del sólido. Para Sólido S el agujero elimina un disco de radio $1$ del disco en cada extremo plano del sólido, lo que reduce el área total en $2\pi,$ pero añade el área lateral del agujero cilíndrico, lo que aumenta el área total en $2\pi,$ para que el resultado final sea el mismo. Esto ocurre sólo porque la longitud y el radio del agujero cilíndrico son iguales; Intenta simplemente aumentar el radio del agujero (sin dejar de estar dentro del sólido P), por ejemplo, utilizando la línea $y=-2$ , y verá una superficie total menor.