Yo tendría que pedir disculpa por la pregunta siguiente por todos los que están familiarizados con la geometría algebraica, ya que esto podría ser un problema trivial que causan algunas irritaciones para mí: consideramos que una de morfismos $f: Z \to Y$ entre los esquemas. a continuación, la inducida por imagen directa functor $f_*$ se reclama de la izquierda exacta. las pruebas a las que me encontrado utiliza siempre el siguiente argumento: consideramos una secuencia exacta de las poleas en $Z$
$$0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to 0$$
elegir arbitraria abrir subconjunto $V \subset Y$ y se aplican en primer lugar $f_*$ y, a continuación, el $\Gamma(V, -)$ functor. Desde $\Gamma(V, -)$ es de izquierda exacto para poleas obtenemos la secuencia exacta
$$0 \to \mathcal{F}(f^{-1}(U)) \to \mathcal{G}(f^{-1}(U)) \to \mathcal{H}(f^{-1}(U))$$
en este punto de la prueba final. por qué ahora hemos terminado? ¿por qué es esto suficiente? Pensé que una secuencia de poleas si es exacta si y sólo si la inducción de secuencia en cada tallo es exacto es decir, tenemos que comprobar que
$$0 \to (f_*\mathcal{F})_y \to (f_*\mathcal{G})_y \to (f_*\mathcal{H})_y$$
es exacto en todos los $y \in Y$. en ese momento me encuentro con el problema que no sé cómo calcular explícitamente el tallo $(f_*\mathcal{F})_y$ de la imagen directa de gavilla. por otro lado, la exactitud de todas las secuencias de segundo tipo parece ser mucho más débil de las condiciones de exactitud en los tallos como en la última. o son estos dos criterios de exactitud equivalente?
