Usar el teorema de la variedad de cociente para mostrar espacios proyectivos reales es una variedad suave

Question

El objetivo de este post es, como se indica en el título,

Utilizar el cociente colector teorema que mostrar espacios proyectivos son lisas, de los colectores.

Sé que esto es una exageración, pero estoy curioso acerca de este teorema, así que quiero utilizar en algunos ejemplos. Por cierto, he aprendido que podemos formar productos de colectores, muy naturalmente, así que tengo curiosidad de saber bajo qué condiciones se puede hacer la misma cosa para los cocientes. Entonces lo que me trajo a el post y por lo tanto Thm 7.10 Lee en el libro (bueno, yo no sabía que existía un buen libro antes de lol):

(Cociente de colector teorema) Si $G$ es una Mentira grupo funciona sin problemas, correctamente y libremente sobre una superficie suave colector $M$, a continuación, $M/G$ es topológico, colector de dimensión $\dim M - \dim G$ y tiene un único suave estructura tal que el canónica surjection es un buen inmersión.

Me fui a través de las definiciones pertinentes y me han demostrado lo siguiente (estos son relativamente fácil):

1. El grupo multiplicativo $\Bbb{R}^\times$ es una Mentira grupo.
2. El mapa de $\phi = (\lambda ,x )\mapsto \lambda x$ es un grupo de acción por $\Bbb{R}^\times$ a $\Bbb{R}^n \backslash \{0\}$.
3. La acción es suave como un mapa del colector $\Bbb{R}^\times \times \Bbb{R}^n \backslash \{0\}$ a $\Bbb{R}^n \backslash \{0\}$.
4. El mapa de $f_\phi = (\lambda, x) \mapsto (\lambda x, x)$ es inyectiva, por lo cual la acción $\phi$ es gratis.

Entonces, para mostrar la acción del grupo es adecuado (he.e si $K \subseteq M \times M$ es compacto, $f_\phi^{-1}(K) \subseteq G \times M$ es compacto). Se ha demostrado en el Lema 7.1 que

(Criterio propio) Un grupo continuo de la acción $\phi$ por $G$ en espacio de Hausdorff $M$ es adecuado iff para todo subconjunto compacto $K \subseteq M$, $G_K = \{g \in G: gk \in K \text{ for some } k \in K \} = \pi_G( f_\phi^{-1}(K \times K))$ es un subconjunto compacto de $G$.

Intento: Vamos a $K$ ser subconjunto compacto de $\Bbb{R}^n \backslash \{0\}$. A pesar de $\Bbb{R}^\times$ ya no es más completa, todavía tiene la propiedad de que delimitadas $\Rightarrow$ totalmente acotado. Por lo que es suficiente para mostrar $G_K$ es limitada y completa.

Delimitado: La norma de la función $f(x) = \|x\|$ es real valorados y continua en $\Bbb{R}^n\backslash \{0\}$, lo $f(K)$ es compacto y tiene mínimo $a$ y máximo de $b$. A continuación, $G_K$ es limitado subconjunto de $\Bbb{R}^\times$ , ya que para cada una de las $g \in G_K$hay $k_1, k_2 \in K$ tal que $gk_1 = k_2 \Rightarrow |g|\|k_1\| = \|k_2\| \Rightarrow |g| \leq \|k_1\|/\|k_2\| \leq b/a$.

Completa: Vamos a $\{g_n\}$ ser una secuencia de Cauchy en $G_K$. A continuación, para cada una de las $n$, no es $x_n$ tal que $g_n x_n \in K$. Desde $K$ es compacto, hay algunos subsequence $\{x_{n_k}\}$ e $x \in K$ tal que $x_{n_k} \to x$. $g_{n_k} x_{n_k}$ es de nuevo una secuencia de Cauchy en $K$ así que por integridad, $g_{n_k} x_{n_k} \to y$ para algunos $y \in K$. Queda por demostrar que $y = g x$ para algunos $g \neq 0$ e $g_{n_k} \to g$, entonces la prueba es completa. Yo estoy todavía estaba pensando en una manera de mostrar que...

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Edit: para las preguntas específicas son

1. Ya que la prueba fue terminado a continuación, puede dar a otro (más corto/más elegante/más directa) prueba para demostrar que el grupo de acción $(\lambda , x) \mapsto \lambda x$ es adecuada?
2. Hay algún problema en esta prueba?

Answer 1

Así me doy cuenta de que la parte restante de la prueba puede ser terminado con el álgebra lineal.

(No es $g \neq 0$ tal que $y = gx$) Para cada una de las $k$, escribir $y_k = g_{n_k} x_{n_k}$ y deje $e_k = y_k - \text{proj}_x y_k$. Así que la tarea es mostrar a $e_k \to 0$. Desde $y_k \to y$, que muestra $y = \text{proj}_x y$ y el $g$ serían $\frac{x \cdot y}{x \cdot x}$. Ahora

\begin{align*}e_k & = y_k - \frac{y_k\cdot x}{x \cdot x} x = \frac{g_{n_k}x_{n_k}(x \cdot x)-(g_{n_k} x_{n_k} \cdot x) x}{x \cdot x} \\ & = g_{n_k}\frac{(x \cdot x)x_{n_k}-(x_{n_k} \cdot x) x}{x \cdot x} \end{align*}

Pero $\{g_{n_k}\}$ es limitado por lo que es suficiente para mostrar $\|(x \cdot x) x_{n_k} - (x_{n_k} \cdot x) x \| \to 0$. \begin{align*} \|x_{n_k} (x \cdot x) - (x_{n_k} \cdot x) x\| &= \|x_{n_k} (x \cdot x) - (x\cdot x) x + (x \cdot x) x - (x_{n_k} \cdot x) x\|\\ & = \|(x \cdot x)( x_{n_k} - x ) + ((x -x_{n_k}) \cdot x) x\|\\ & \leq \|x\|^2 \| x_{n_k} - x \| + |(x -x_{n_k}) \cdot x| \|x\|\\ & \leq \|x\|^2 \| x_{n_k} - x \| + \|x -x_{n_k}\| \|x\| \|x\|\\ & = 2\|x\|^2 \| x_{n_k} - x \|\to 0 \end{align*} donde hemos utilizado Cauchy Schwartz en la segunda desigualdad.

($g_{n_k} \to g$) \begin{align*} g_{n_k} - g & = \frac{g_{n_k} (x \cdot x) - y \cdot x}{x \cdot x} \end{align*} De nuevo, nos muestran $|g_{n_k} (x \cdot x) - y \cdot x| \to 0$. \begin{align*} |g_{n_k} (x \cdot x) - y \cdot x| & = |g_{n_k} (x \cdot x) - y_k \cdot x + y_k \cdot x - y \cdot x|\\ & = |(g_{n_k}x - g_{n_k} x_{n_k}) \cdot x + (y_k - y) \cdot x|\\ & \leq \underbrace{|g_{n_k}|}_{{\text{bounded}}}\|x - x_{n_k}\|\|x\|+ \|y_k - y \|\|x\| \to 0 \end{align*} Por lo $g_{n_k} \to g$. Desde $\{g_n\}$ es de Cauchy, toda la secuencia converge a $g$. Recordemos que $x,y = gx \in K$, por lo que $g \in G_K$. De modo que la secuencia de Cauchy $\{g_n\}$ tiene límite de $g$ en $G_K$ , y podemos concluir $G_K$ es completa.

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(Otra respuesta) Esta muestra $G_K$ se completa con un enfoque diferente: Observar que

$A \subseteq \Bbb{R}\backslash \{0\}$ es completa iff $A$ es cerrado y $d(0,A) > 0$.

($d(0,A) > 0$) Como en el original de la prueba, deje $a = \min_{x \in K} \|x\|$ e $b = \max_{x\in K} \|x\|$. Para todos los $g \in G_K$hay $k_1, k_2 \in K$ tal que $gk_1 = k_2$. A continuación, $|g| = \|k_2\|/|k_1| \geq a /b$. Por lo $d(0,G_K) \geq a/b > 0$.

($A$ es cerrado) Notificación de que $G_K = \{g \in G: gK \cap K \neq \emptyset\}$. Ahora mostramos $\Bbb{R}^\times \backslash G_K$ está abierto: Vamos a $g \neq 0$ tal que $g K \cap K = \emptyset$. Pero $x \mapsto gx$ es continua, por lo $gK$ es compacto. En la métrica de los espacios, distintos conjuntos cerrados y compactos conjuntos de mantener un número finito de distancia el uno con el otro y compacto conjuntos son cerrados. Decir $d(gK, K) = \epsilon > 0$, tome $\delta = \epsilon/b$. A continuación, $B_\delta(g) \subseteq \Bbb{R}^\times \backslash G_K$.

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Bueno, la segunda respuesta ya redujo la mayor parte de la longitud en el original de la prueba, pero lo que yo realmente quiero es que el argumento presentado aquí por el Señor Kato, el que me encuentro ahora. TLDR, demostró que esta proposición:

Deje $G$ ser un compacto Hausdorff grupo y $M$ ser un espacio de Hausdorff. Supongamos $G$ actúa continuamente en $M$. A continuación, $G$ actúa correctamente en $M$ (y esto implica que la órbita de espacio $M/G$ es Hausdorff).

Su argumento es de lo mejor en un sentido que puede ser utilizado para cualquier Hausdorff $M$ y compacto Hausdorff grupo $G$. El uso de su argumento, vamos a collaspe nuestro $M_\text{old} = \Bbb{R}^{n+1}\backslash \{0\}$ e $G_\text{old} = \Bbb{R}\backslash \{0\}$ a $M = \Bbb{S}^n$ e $G = \{-1,1\}$. Esta tercera versión de la respuesta va a ser completado si puedo demostrar rigurosamente que.

PS. Tonto de mí...¿no esta escrito en el libro como un lexema, justo después de declarado el propio criterio? Lol

Answer 2

Observe que cada elemento de a$g \in \mathbb R^{\times}$ actúa como un homeomorphism en la punta de espacio Euclidiano. Por lo tanto, para cualquier compacto $K \subseteq R^n \setminus \{ 0 \}$ tenemos que $g^{-1}(K)$ es la imagen del conjunto compacto $K$ a través de una función continua $g^{-1}$. Por lo tanto $g^{-1}(K)$ es compacto para cualquier compacto $K$, es decir, $g$ es un buen mapa.

Oops, lo anterior es correcto, pero en realidad no lo OP pidió. Condición de propio en este contexto significa que el mapa de $G \times M \to M \times M$ es adecuada, mientras que yo demostrado que después de la fijación de un elemento $g \in G$ el mapa correspondiente $M \to M$ es adecuado. Voy a tratar de corregir esta respuesta más tarde.