Si he establecido (2,3,4,5,6,7,8,9), ¿cuántos productos posibles hay de tres números del conjunto? Se permiten repeticiones, por ejemplo, 2 * 2 * 2, 2 * 3 * 3, etc. No sé cómo resolver esto aparte de la fuerza bruta. Muchas gracias.
Respuestas
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El número de productos que consta de $3$ elementos con repetición de la $8$ element set \begin{align*} \{2,3,4,5,6,7,8,9\}=\{2,2^2,2^3,2\cdot 3, 3,3^2,5,7\} \end{align*} es \begin{align*} \binom{8+3-1}{3}=\binom{10}{3}=\color{blue}{120} \end{align*}
Aquí la estrategia es contar los productos que ocurra más de una vez manualmente y, a continuación, resta este número de $120$.
- Podemos ver a simple vista que los productos que tienen dos elementos de $\{5,7\}$ no puede tener dos representaciones distintas. Por lo tanto, los candidatos tienen un factor de $5$ o $7$ o ninguno de ellos.
Necesitamos algún tipo de forma sistemática para encontrar todos los posibles productos con múltiples representaciones. Para ello nos encargamos de todos los candidatos de acuerdo a dos criterios:
El producto contiene un factor de $5$ o $7$ o de ninguno de ellos
Seleccionamos candidatos por el aumento de los poderes de $2$
Productos que contengan $5$ o $7$:
Sólo necesitamos una lista de dos factores, ya que el tercero es $5$ o $7$. Obtenemos \begin{align*} \text{factor }2\ :&\qquad 2\cdot 3^2=(2\cdot 3)\cdot 3&(90,126)\\ \text{factor }2^2:&\qquad 2^2\cdot3=2\cdot(2\cdot 3)&(60,84)\\ &\qquad 2^2\cdot 3^2=(2\cdot 3)(2\cdot 3)&(180,252)\\ \text{factor }2^3:&\qquad 2^3\cdot 3=2^2\cdot (2\cdot 3)&(120, 168)\\ \text{factor }2^4:&\qquad 2\cdot 2^3=2^2\cdot 2^2&(80,112)\\ \end{align*}
Vemos que no se $5$ posibilidades para escribir un producto con dos representaciones distintas. Desde el tercer factor es $5$ o $7$ tenemos un total de $\color{blue}{10}$ posibilidades. Los valores entre corchetes a la derecha de cada línea el número con el factor de $5$ resp. $7$.
Los productos que contienen ni $5$ ni $7$:
\begin{align*} \text{factor }2\ :&\qquad 2\cdot 3\cdot 3^2=(2\cdot 3)\cdot 3\cdot 3=54\\ &\qquad 2\cdot 3^2\cdot 3^2=(2\cdot 3)\cdot 3\cdot 3^2=162\\ &\qquad \rightarrow 2\text{ multiples}\\ \text{factor }2^2:&\qquad 2\cdot 2\cdot 3^2=2^2\cdot 3\cdot 3=2\cdot (2\cdot 3)\cdot 3=36\\ &\qquad 2^2\cdot 3\cdot 3^2=2\cdot (2\cdot 3)\cdot 3^2=(2\cdot 3)(2\cdot 3)\cdot 3=108\\ &\qquad 2^2\cdot 3^2\cdot 3^2=(2\cdot 3)(2\cdot 3)\cdot 3^2=324\\ &\qquad \rightarrow 5\text{ multiples}\\ \text{factor }2^3:&\qquad 2\cdot 2^2\cdot 3=2\cdot 2\cdot (2\cdot 3)=24\\ &\qquad 2\cdot 2^2 \cdot 3^2=2^2\cdot(2\cdot3)\cdot 3=2^3\cdot 3\cdot 3=2\cdot(2\cdot3)(2\cdot 3)=72\\ &\qquad 2^3\cdot 3\cdot 3^2=2^2\cdot (2\cdot 3)\cdot 3^2=(2\cdot 3)(2\cdot 3)(2\cdot 3)=216\\ &\qquad \rightarrow 6\text{ multiples}\\ \text{factor }2^4:&\qquad 2\cdot2^3\cdot 3=2^2\cdot2^2\cdot 3=2\cdot 2^2\cdot (2\cdot 3)=48\\ &\qquad 2\cdot 2^3\cdot 3^2=2^2\cdot2^2\cdot 3^2=2^3\cdot(2\cdot3)\cdot3=2^2\cdot (2\cdot 3)(2\cdot 3)=144\\ &\qquad \rightarrow 5\text{ multiples}\\ \text{factor }2^5:&\qquad 2\cdot 2\cdot2^3=2\cdot2^2\cdot2^2=32\\ &\qquad 2^2\cdot 2^3\cdot 3=2\cdot 2^3\cdot (2\cdot 3)=2^2\cdot 2^2\cdot (2\cdot 3)=96\\ &\qquad 2^2\cdot 2^3\cdot 3^2=2^3\cdot (2\cdot 3)(2\cdot 3)=288\\ &\qquad \rightarrow 4\text{ multiples}\\ \text{factor }2^6:&\qquad 2\cdot 2^2\cdot 2^3=2^2\cdot 2^2\cdot 2^2=64\\ &\qquad 2^3\cdot 2^3\cdot 3=2^2\cdot 2^3\cdot (2\cdot 3)=192\\ &\qquad \rightarrow 2\text{ multiples}\\ \text{factor }2^7:&\qquad 2\cdot 2^3\cdot 2^3=2^2\cdot 2^2\cdot 2^3=128\\ &\qquad \rightarrow 1\text{ multiple}\\ \end{align*} dando un total de $2+5+6+5+4+2+1=\color{blue}{25}$ producto de múltiples representaciones.
Llegamos a la conclusión de que el número de productos diferentes es $$120-10-25=\color{blue}{85}.$$
dyna
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*Este contsins algún error. Tenga cuidado
Yo trato de escribir sobre mi tratando, pero usted puede pensar que es la fuerza bruta. Y puede que haya algún error. debemos pensar en la forma de $2^a3^b5^c7^d(0\le a\le9,0\le b\le6,0\le c\le 3,0\le d\le3)$.
cuando $c=1,d=1$, entonces se puede elegir un número de$\{2,3,4,6,8,9\}$, con lo que obtenemos los 6 números.
Y creo que el caso de que $c=1,d\neq1$. Si $4\le a\le6$,se puede obtener sólo a $(a,b)=(4,0),(5,0),(6,0),(4,1)$(por ejemplo,$2\times8\times5,4\times8\times5,8\times8\times5,6\times8\times5$) porque el 8 doble o $4$ es sea necesario hacer $a$ no menos de $4$.Si $3\le b\le4$, obtenemos $(a,b)=(0,3),(0,4),(1,3)$.
Y en el caso de que $0\le a \le 3$ e $0\le b \le 2$, otros de $(a,b)=(0,0),(1,0),(0,1)$, se puede obtener un producto(plese pensar un poco). Así pues, podemos saber el número en el caso equles a $4\times3-3=9$. Así, ahora sabemos que el número en el caso de que $c=1,d\neq1$ es igual a $9+4+3=16$, y el número en el caso de que $c\neq1,d=1$. Es igual. Así pues, podemos saber el número en el caso de que $c=1$ o $d=1$. Que es $16\times 2+6=38$
Pensemos en el caso de que $c=0$ e $d=1$. La forma es $2^a3^b(a\le a\le 9,0\le b\le6)$. si $7\le a\le9$, tenemos sólo la $(a,b)=(7,0),(7,1),(8,0),(9,0)$, y si $5\le b \le6$, tenemos sólo la $(a,b)=(0,5),(1,5),(0,6)$.
Cuando $0\le a\le6$ e $0\le b\le4$, entonces eso es un poco difícil. podemos elegir el número tres,por lo que sabemos $a+b\ge3$ Y, a excepción de $8$, cada número tiene sólo uno o dos primer factor. Así, podemos pensar que la
\begin{equation}3\le a+b\le8(a=6)\\3\le a+b\le7(3\le a\le5)\\3\le a+b\le6(0\le a\le2) \end{equation} y si pensamos en el caso de la clasificación en el valor de $a$, sabemos que el total de los pares de $a,b$ que cumplan la anterior ecuación puede ser obtenido. El número es $3+3+4+5+4+4+4=27$, por lo que sabemos el número en caso de que $c=0$ e $d=1$ es $27+4+3=34$. Entonces, sabemos que la respuesta es $34+38=72$
ex-respuesta:" Porque de contar multisets, el número es menor que $\binom {10}{3}=120$. Pero no puedo obtener un número exacto. Lo siento"
Dohleman
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