Calcule$\sum\limits_{i=0}^{n-1}\frac{1}{(i+1)(i+2)}$ en el uso de la perturbación de la suma

Question

Necesito calcular $$\sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{(i+1)(i+2)}$$ en uso de la perturbación de la suma método: $$\boxed{\boxed{\sum_{k=m}^Ma_k+a_{M+1}=a_m+\sum_{k=m+1}^Ma_{k+1}}} $$

Mi pruebe

Yo sé cómo resolver esta tarea en forma "tradicional", pero estoy tratando de hacerlo con el método: $$S_n=S_n$$ $$ \sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{(i+1)(i+2)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2} + \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{(i+1)(i+2)} $$

ok - ahora quiero tener la misma pieza como en el lado izquierdo de la igualdad. Así que me decido a usar: $$ i' = i+1 $$ $$ \frac{1}{2} + \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{(i+1)(i+2)} = \frac{1}{2} + \sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{i(i+1)} $$ pero no puedo dividir por 0...
Cómo evitar ese problema?

Método

No sé si el nombre de "perturbación de la suma" es correcta en inglés, así que voy a dar el ejemplo de otra de las tareas que con este enfoque: $$ S_n=\sum_{k=0}^{n}q^k = ? $$ $$ S_n+q^{n+1}=1+\sum_{k=1}^{n+1}p^k=1+\sum_{k=0}^{n}p^{k+1}= 1+q\sum_{k=0}^{n}p^{k}=1+qS_n $$ $$(q-1)S_n=q^{n+1}-1 $$

$$ S_n=\frac{q^{n+1}-1}{q-1} $$

Answer 1

Telescópica es un método en el que tratamos de escribir $a_{k}$ en el formulario $a_k = b_{k+1} - b_k$ para algunos secuencia $b_k$. De esta forma la suma de la serie de la siguiente manera directa como $\sum_{k=0}^n a_k = b_{n+1} - b_0$.

Lo que usted está tratando de hacer, de mirar su ejemplo, se ve como el opuesto de encastrar: para intentar escribir $a_k$ en un formulario como $a_{k+1} - qa_k = b_k$ donde $q$ es una constante (esto se puede generalizar, pero sigamos con el caso más simple aquí). Si son capaces de hacerlo y de donde $b_k$ es 'fácil' de $a_k$ , de modo que usted es capaz de suma $b_k$ sumando la recurrencia de la relación que usted sería capaz de encontrar la suma de $a_k$ como

$$\sum_{k=0}^n a_{k} = \frac{a_0 - a_{n+1} + \sum_{k=0}^n b_k}{1-q}$$

Sin embargo, no esperamos que todos los métodos para trabajar con todas las series. Como telescópica, este método solo funciona en algunos casos especiales. Ser bueno en la búsqueda de sumas es averiguar qué métodos funciona mejor con lo de la serie. Para la serie en cuestión telescópica es definitivamente el camino a seguir y el último método no funcionaría como $b_k$ sería aún más complicado de la serie que el de $a_k$ tan sólo debe descartar este método para la serie.

Answer 2

De hecho, el uso previsto de la identidad proporcionada $$\sum_{k=m}^M a_k + a_{M+1} = a_m + \sum_{k=m}^M a_{k+1}$$ is not by assigning $$a_k = \frac{1}{(k+1)(k+2)},$$ but rather, $$\boxed{\boxed{a_k = \frac{1}{k+1}}}.$$ When you do this, you immediately obtain (for $ m = 0$ and $ M = n-1$) $$\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{k+1} + \frac{1}{n} = 1 + \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{k+2}.$$ Upon rearrangement, we get $$\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2} = 1 - \frac{1}{n},$$ and since $$\frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2} = \frac{(k+2) - (k+1)}{(k+1)(k+2)} = \frac{1}{(k+1)(k+2)},$ $ esto concluye la prueba.

Otra forma de ver esto es reescribir la identidad de perturbación en la forma $$\sum_{k=m}^M (a_k - a_{k+1}) = a_m - a_{M+1}.$ $