¿Bijección "natural" en la teoría de categorías?

Question

Existe una biyección entre $\mathcal P(X)$ y $2^X$ donde $2=\{0,1\}$ , a saber $U\subseteq X\mapsto f$ donde $f(x)=1$ si $x\in U$ . Esta biyección es "natural" en un sentido informal.

Por otro lado, puede haber una biyección entre $\mathcal P(X)$ y algún otro conjunto arbitrario $Z$ que resulta tener la misma cardinalidad. Yo llamaría a esta biyección informalmente "antinatural".

¿Se corresponde mi idea informal de "natural" en este contexto con una idea de naturalidad en la teoría de las categorías?

Answer 1

En este contexto, sí, porque la biyección entre $\mathcal{P}(X)$ y $2^X$ es natural desde el punto de vista de la teoría de las categorías (suele ser un ejercicio que se hace cuando se aprende la teoría de las categorías), mientras que si sólo se toma $Z$ de la misma cardinalidad, entonces la naturalidad ni siquiera tiene sentido porque por un lado tienes un functor ( $X\mapsto \mathcal{P}(X)$ ) y en el otro lado tienes un único objeto $Z$ Por lo tanto, ni siquiera tiene sentido hablar de naturalidad.

Sin embargo, si se limita a un solo $X$ entonces hay dos categorías que puede querer ver: la categoría trivial en $X$ que sólo tiene $id_X$ como morfismo, o la subcategoría completa de $\mathbf{Set}$ en $X$ que tiene como morfismos $\hom(X,X)$ . En el primer caso, los funtores $X\mapsto \mathcal{P}(X)$ y el functor constante $X\mapsto Z$ será naturalmente isomorfo; en el segundo caso, el functor $X\mapsto \mathcal{P}(X)$ actuando de la forma habitual sobre los mapas, y el functor constante $X\mapsto Z$ no son naturalmente isomorfos - aunque hay una forma de actuar sobre las flechas para tener un functor $X\mapsto Z$ que es naturalmente isomorfo a $X\mapsto \mathcal{P}(X)$ .

Lo que esto demuestra es que para dar sentido a lo que significa "natural" hay que tener cuidado con las categorías implicadas; y cómo actúan los funtores, no sólo sobre los objetos, sino también sobre las flechas.

Answer 2

He aquí una posible interpretación: tomar el functor contravariante

$$ \newcommand{\c}[1]{\mathbf{#1}} \newcommand{\cop}[1]{\c{#1}^{op}} \newcommand{\parts}[1]{\mathcal{P}(#1)} \newcommand{\2}[1]{2^{#1}} \begin{align} \parts{-} : &\ \c{Set} \longrightarrow \cop{Set} \\ & X \longmapsto \parts{X} \\ & \downarrow^f \ \mapsto \ \uparrow^{\parts{f}} \\ & Y \longmapsto \parts{Y} \end{align} $$

con $\parts{f}(A) = f^{-1}(A)$ . Utilizando su notación, hay otro functor contravariante en $\c{Set}$ que puede definirse como $\2{-} := \hom_{\c{Set}}(-,\{0,1\})$ . Para formalizar su intuición, uno quisiera tener una transformación natural entre estos.

De hecho, tenemos una isomorfismo natural definido por: $$ (\eta_X : \parts{X} \to 2^X)_{X \in \c{Set}}, \quad \eta_X(A)(x) = \cases{1 \text{ if } x \in A \\ 0 \text{ otherwise}} $$

es decir, que $\eta_X(A) = \chi_A \in \hom(X,\{0,1\}) = \2{X}$ . En efecto, $\eta$ es natural porque dada una flecha $f :X \to Y$ en $\c{Set}$ , $$ \eta_X\parts{f}(A) = \eta_X(f^{-1}(A)) = \chi_{f^{-1}(A)} = \chi_Af = f^*(\chi_A) = \2{f}(\eta_X(A)) $$

con $2^f = f^*$ siendo la precomposición de $f$ es decir $f^*(g) := gf$ . Finalmente, $\eta$ es un isomorfismo ya que cada flecha $\eta_X$ es

• inyectiva porque si $A \neq A' \in \parts{X}$ entonces $\eta_X(A)(z) \neq \eta_X(A')(z)$ para $z \in A' \triangle A$ .
• surjective porque dado $s : X \to 2$ entonces $s = \chi_{s^{-1}(1)} = \eta_X(s^{-1}(\{1\}))$ .

y los isomorfismos en $\c{Set}^{op}$ son biyecciones.