límite con potencia anidada de$x$

Question

Evaluación de $$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{x^{x^{x^{x^{x}}}}}-x^{x^{x^{x^x}}}}{(x-1)^6}$ $

Intento :: Intento resolverlo usando el índice binomial para fracción

$\displaystyle x^x=\bigg[1+(x-1)\bigg]^x=1+x(x-1)+\frac{x(x-1)^2}{2}+\cdots $

No sabía cómo puedo resolverlo,

Podría ayudarme, gracias.

Answer 1

Deje que $t=x-1\to 0$ luego $$x^s-1=e^{s\ln(1+t)}=st+O(st^2)$ $ Por lo tanto, $$x^x-x=x(x^{x-1}-1)=(1+t)(t^2+O(t^3))=t^2+O(t^3)$ $ y
$$x^{x^x}-x^x=x^x(x^{x^x-x}-1)=(1+O(t))\left( (t^2+O(t^3))t+O((t^2+O(t^3))t^2)\right)=t^3+O(t^4).$ $ De la misma manera, obtenemos $$\frac{x^{x^{x^{x^{x^{x}}}}}-x^{x^{x^{x^x}}}}{(x-1)^6}=\frac{t^6+O(t^7)}{t^6}\to 1.$ $