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Question

Si $x+y+z=3, $ e $x^2+y^2+z^2=9$ , encontrar $\max\{y-x\}$.

He intentado hacer esto geométricamente, $x+y+z=3$ es un plano en $\Bbb{R}^3$ e $x^2+y^2+z^2=9$ es una bola de radio 3 y centro de origen . Por lo que el candidato puntos para $y-x$ se encuentran en la intersección del plano y la pelota. Pero ahora estoy confundido ¿cómo elegir hacer $y-x$ maximizada.

Answer 1

Tenga en cuenta que $y^2=(3-x-z)^2=9-x^2-z^2\implies z^2+(x-3)z+(x^2-3x)=0$ para $$2z=3-x\pm\sqrt3\sqrt{3+x-x^2}\implies y=3-x-z=\frac{3-x}2\mp\frac{\sqrt3}2\sqrt{3+2x-x^2}$$ giving $$\max\{y-x\}=\max\left\{\frac32-\frac32x+\frac{\sqrt3}2\sqrt{3+2x-x^2}\right\}$$ and differentiating gives $$-\frac32+\frac{\sqrt3}4\cdot\frac{2-2x}{\sqrt{3+2x-x^2}}=0\implies (1-x)^2=3(3+2x-x^2)$$ so $ x ^ 2-2x-2 = 0 \ implica x = 1 \ pm \ sqrt3$, and $ \ max \ {yx \} = 2 \ sqrt3$ when $ x = 1- \ sqrt3 $ .

Answer 2

Nuestras condiciones de dar $$x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2$$o $$xy+xz+yz=0.$$ Ahora, vamos a $y-x=t$.

Por lo tanto, $y=x+t$, $z=3-x-y=3-2x-t$ y obtenemos que la ecuación $$x(x+t)+(3-2x-t)(x+x+t)=0$$ tiene raíces reales $x$, que dice que $\Delta\geq0.$

Obtenemos: $$3x^2+3(t-2)x+t^2-3t=0,$$ que da $$9(t-2)^2-12(t^2-3t)\geq0$$o $$-2\sqrt3\leq t\leq2\sqrt3.$$

Answer 3

Tomando la rotación $X=(y-x)/\sqrt{2}$ e $Y=(y+x)/\sqrt{2}$ tenemos que las ecuaciones son $$\begin{cases} X^2+Y^2+z^2=9\\ \sqrt{2}Y+z=3\end{casos}$$ Por lo tanto $z=3-\sqrt{2}Y$y $$X^2=9-(3-\sqrt{2}Y)^2-Y^2=3Y(2\sqrt{2}-Y)\leq 6$$ con la igualdad de la $Y=\sqrt{2}$ (e $z=1$). De ello se sigue que $$X=\frac{y-x}{\sqrt{2}}\leq \sqrt{6}\implies y-x\leq 2\sqrt{3}.$$ La igualdad es alcanzado por $x=-(\sqrt{3}-1)$ , $y=\sqrt{3}+1$, e $z=1$.