Una flor en un hexágono

Question

El área de la flor en un hexágono

Este problema de geometría proviene de un examen de matemáticas reciente.

La pregunta es la siguiente:

Tenemos un hexágono regular con lados iguales a $1$ y seis arcos circulares con radio igual a $1$ desde cada vértice del hexágono en él creando un objeto con forma de flor. Encuentra el área de la flor.

Intenté crear un triángulo equilátero conectando el punto en el centro con los vértices del borde pero no pude continuar.

Estaría agradecido si me pudieras ayudar.

Answer 1

Suponiendo que son arcos circulares y no "elipses", realmente puedes encontrar el área exactamente.

La "flor" tiene seis "pétalos". Cada uno de esos pétalos tiene simetría axial y puede dividirse en dos mitades. Cada una de esas mitades es el segmento que subtiende un ángulo central de $\frac{\pi}{3}$ (en radianes) en un círculo de radio $1$.

El área de un segmento de este tipo es $\frac 12 r^2(\theta - \sin\theta) = \frac 12(\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Hay $12$ segmentos de este tipo, dando como resultado el área total de la "flor" como $2\pi - 3\sqrt 3$.

Answer 2

Aquí hay una solución que no requiere trigonometría. El hexágono está formado por 6 "pétalos" y 6 "cuñas" (los triángulos huecos entre los pétalos). Llama al área de un pétalo $p$, y al área de una cuña $w$.

¿Cuál es el área encerrada por dos lados adyacentes del hexágono y el arco trazado desde el vértice entre ellos? (Por ejemplo, la región EFAGE). Es un tercio de un círculo unitario, y contiene tres pétalos y dos cuñas:

$3p + 2w = {\frac 1 3} \pi r^2 = \frac \pi 3$

¿Cuál es el área de un triángulo (un sexto del hexágono)? La altura del triángulo es $\sqrt{1 - {\frac 1 4}} = \frac{\sqrt 3}{2}$, por lo que el área es $\frac{\sqrt 3}{4}$. El triángulo está formado por dos medio-pétalos y una cuña:

$p + w = \frac{\sqrt 3}{4}$

Resolviendo las dos ecuaciones simultáneas:

$2p + 2w = \frac{\sqrt 3}{2}$

$p = \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt 3}{2}$

Y el área de la flor es $6p = 2\pi - 3\sqrt 3$.

Answer 3

El área sombreada en azul es

(Área del círculo)-(Área del rombo)=$\pi\cdot 1^2\cdot\frac{120}{360}-1^2\cdot\sin(120)$\=$ \frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Y tenemos 6 de ellas, por lo tanto, el área total de la flor es

$ 6(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2})=2\pi-3\sqrt{3}$

Answer 4

[Esta respuesta fue publicada para la versión original del problema, que básicamente no tenía información sobre la figura aparte de la imagen misma]

No podemos encontrar fácilmente el área exacta, simplemente no tenemos suficiente información para eso. Pero ¿cuáles son las estimaciones que estamos viendo? (1) $\approx 3.1$. (3) $\approx 4.7$. (4) $\approx 2.5$. (5) $\approx 3.3$. (6) $\approx 1.1$.

Si el área está cerca de $3$, podríamos tener dificultades para decidir. Si está más lejos, será una elección fácil.

Ahora, ¿cuál es el área del hexágono? Eso es algo que podemos calcular exactamente; un triángulo equilátero de lado $1$ tiene un área de $\frac{\sqrt{3}}{4}$, y el hexágono son seis de esos pegados juntos para un área total de $\frac32\sqrt{3}\approx 2.6$. La flor claramente es mucho menos que eso. Solo una de las respuestas es plausible. Tiene que ser (6), $2\pi-3\sqrt{3}$.

Y, retrocediendo desde la respuesta... las curvas que definen los "pétalos" son los seis círculos centrados en los vértices del hexágono con radio $1$. Esa parte sobre "cinco elipses" es simplemente incorrecta.

Answer 5

Aquí hay otra forma de verlo. Imagina tomar dos círculos de radio 1 y cortarlos en tercios. Colócalos de manera que los seis ángulos de 120° que tienes (uno de cada cuña) formen las esquinas del hexágono.

Cada punto en uno de los "pétalos" está cubierto por tres de estas cuñas. Cada punto en el hexágono que no está en uno de los pétalos está cubierto por dos de estas cuñas. Por lo tanto, el área total cubierta por las seis cuñas es el doble del área total del hexágono más el área de los pétalos; o, en otras palabras, el área de los pétalos es el área de dos círculos unitarios menos el doble del área del hexágono.

El área de los dos círculos es $2\pi$; el área del hexágono es $3\sqrt{3}/2$. Por lo tanto, el área de los pétalos es $2 \pi - 3 \sqrt{3} \approx 1.087...$