Encontrar el radio del círculo

Question

Tomando el ángulo en el centro como $x$ Tengo $r \sin x =2$ . Pero después, ¿cómo proceder?

Answer 1

Los triángulos $ABE$ y $FGD$ son similares, así que $${3\over 1} = {2\over x} \implies x = 2/3$$

donde $x= FG$ . Sea $s= EF$ . Entonces por la potencia del punto $G$ tenemos $$x(x+s)=2^2 \implies s= 16/3\implies EG=6$$

Por el teorema de Pitágoras para los triángulos $BGE$ y $BDG$ tenemos $$3^2+6^2 =BG^2 = 2^2 +(2r-1)^2$$

así que $$r={1+\sqrt{41}\over 2}$$

Answer 2

Haré referencia a las etiquetas en la respuesta de @greedoid (esperando que no le importe). Denotando $BD=\lambda$ y $GE=\mu$ vemos que, como el segmento $BG$ es la hipotenusa de ambos $BGD$ y $GEB$ , $$ \lambda^2+2^2=\mu^2+3^2 \implies \mu=\sqrt{\lambda^2-5}\,. $$ Denotando por $\alpha$ el ángulo $EBD$ y observando que $DGE=\pi-\alpha$ podemos aplicar una estrategia similar al segmento $ED$ utilizando el teorema del coseno, que da $$ \lambda^2+9-6\lambda\cos\alpha=\mu^2+4+4\mu\cos\alpha \implies \cos\alpha=\frac{5}{2\sqrt{\lambda^2-5}+3\lambda}\,. $$ Por último, exlpoit la similitud de los triángulos $ADE$ y $HDE$ , donde $H$ se obtiene trazando la perpendicular al diámetro $AD$ de $E$ entonces $$ HD/ED = ED/AD \implies (\lambda+1)(\lambda-3\cos\alpha)=\mu^2+4+4\mu\cos\alpha\,. $$ Sustituyendo $\mu$ y $\cos\alpha$ a partir de las ecuaciones anteriores, tenemos que resolver $$ (\lambda+1) \left( \lambda-\frac{15}{2\sqrt{\lambda^2-5}+3\lambda} \right) =\lambda^2-1+\frac{20\sqrt{\lambda^2-5}}{2\sqrt{\lambda^2-5}+3\lambda}\,. $$ Esto se reduce a $$ \frac{3(\lambda-5)(\lambda+1)}{2(9-\lambda)}=\sqrt{\lambda^2-5}\,, $$ o, de forma equivalente, $$ \lambda^4-50\lambda^2+369=0\,\qquad \text{and}\qquad 5\le\lambda<9\,. $$ Por lo tanto, la única raíz aceptable es $\lambda=\sqrt{41}$ y $$ r=\frac{\lambda+1}{2}=\frac{\sqrt{41}+1}{2}\,. $$