¿Es posible definir $\lceil x\rceil$ en términos de $\lfloor\ldots\rfloor$ ?

Question

He intentado definir la función de techo de $x$ en cuanto a su función en el suelo; pensé que esto sería fácil, pero no lo es. Puedo hacerlo fácilmente con una ecuación a trozos, pero necesito prescindir de ella.

Intentos

He probado tres métodos, uno de los cuales ( $\mathbf{(3)}$ ) casi siempre funciona:

$$\left\lfloor x\right\rfloor+1\not= \left\lceil x\right\rceil,\tag 1$$ cuando $x=3$ Porque..: $$\left\lfloor 3\right\rfloor+1=4,\text{and }4\not=\lceil3\rceil.$$ $$\left\lfloor x+1\right\rfloor\not= \left\lceil x\right\rceil,\tag2$$ cuando $x=3$ . $$\left\lfloor x+\frac{x}{x+1}\right\rfloor\not= \left\lceil x\right\rceil,\tag3$$ cuando $\varepsilon$ es un número muy cercano a $0$ y $x=(8+\varepsilon)$ es decir $x=8.099999999999987$ . En ese caso: $$\left\lfloor 8.099999999999987+\frac{8.099999999999987}{9.099999999999987}\right\rfloor=\left\lfloor8.09999999999998+0.89010989010989\right\rfloor=\lfloor 8.99010989010987\rfloor=8,\text{and }8\not=\left\lceil8.099999999999987\right\rceil$$

Pregunta

¿Es posible definir $\left\lceil\ldots\right\rceil$ en términos de $\left\lfloor \ldots\right\rfloor$ ?

Answer 1

Puede calcular techo como:

$$\lceil{x}\rceil=-\lfloor{-x}\rfloor$$

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Puede calcular piso como:

$$\lfloor{x}\rfloor=x-\frac12\left(\frac{\ln\left(e^{2\pi i\left(x-\frac12\right)}\right)}{\pi i}+1\right)$$

Esto se debe a que $e^{2\pi i\left(x-\frac12\right)}$ tiene un periodo de $1$ .

Answer 2

Lema conocido : $$ \left\lceil x \right\rceil = - \left\lfloor -x \right\rfloor $$ *Prueba.* Deja $ x = a + k $ , donde $ a = \left\lfloor x \right\rfloor $ . Si $k=0$ la prueba es trivial, así que dejemos $ 0 < k < 1 $ . Entonces, el LHS es $a+1$ y $$ \begin {align*} \text {RHS} &= - \left\lfloor - \left( a + k \right) \right\rfloor \\&= - \left\lfloor -a - k \right\rfloor \\&= - \left( -a - 1\right) \\&= a + 1. \end {align*} $$ Así que hemos terminado. $\Box$

Answer 3

$$ \lceil x \rceil = -\lfloor-x\rfloor $$

Answer 4

Si $a$ es un número positivo infinitesimal, y se supone que $\lceil{a}\rceil=1$ Entonces...

$$\lfloor{x+1-a}\rfloor=\lceil{x}\rceil$$