¿Realmente necesitamos reales?

Question

Me parece que el conjunto de todos los números realmente utilizados por las matemáticas y la física es contable, porque se definen mediante un conjunto finito de símbolos y, eventualmente, mediante funciones computables.

Como casi todos los números reales no son computables, parece que los números reales son un conjunto demasiado grande y la mayoría de ellos son innecesarios.

Entonces, ¿por qué a los matemáticos les gusta tanto este pletórico conjunto de números?

Answer 1

Es mucho más difícil evitar los números reales "innecesarios" que aceptarlos.

Answer 2

Desde el punto de vista de la física, lo único que se obtiene como resultado de una medición es un número racional. Más exactamente, cualquier experimento de física bien definido es reproducible y, por tanto, siempre se puede producir una secuencia finita de racionales de una secuencia potencialmente infinita de mediciones de resultados por experimento. Cada medición es una aproximación al "resultado real", sea cual sea. Ahora bien, si todo va bien, toda la secuencia contable de racionales es una secuencia de Cauchy que es el resultado real.

Ahora bien, matemáticamente es conveniente poder hablar de este "resultado real" como un objeto único en un bonito sistema de medidas. Una forma de hacerlo es definir los números reales. Entonces el resultado de un experimento es realmente un número real. Ahora bien, cuando se hace eso se encuentra que en realidad se crean montones y montones de nuevos números reales, la mayoría de los cuales no se pueden obtener nunca como resultado de nada. Eso no es un gran problema, y es un precio bastante pequeño a pagar por tener un sistema realmente conveniente de números de gran relevancia para la física con los que trabajar. El hecho de que sólo se utilice una fracción de esos números no es especialmente relevante.

Otra razón para introducir los números reales es que presentan propiedades computacionales agradables. Quizá la más importante es que forman un espacio métrico completo. Ahora bien, sin esa propiedad, la mayor parte del análisis fracasa, por lo que realmente necesitamos que los reales sean completos, y eso implica necesariamente muchos números fuera de nuestro alcance. De nuevo, este es un pequeño precio a pagar por tener una fantástica teoría matemática de acompañamiento.

Por último, no olvides que no siempre se busca un único número como resultado de un cálculo. A veces lo que uno necesita saber es si una integral converge o no, pero el valor real al que converge es irrelevante, y si es o no un número computable en algún sentido es irrelevante. Por otra parte, es crucial tener un sistema en el que se puedan utilizar muchas herramientas y los reales lo proporcionan.

Answer 3

Los números reales incluyen todos los números que se pueden utilizar, incluidos los límites de las secuencias convergentes de números racionales. Es cierto que sólo pueden definirse un número contable de ellos, pero no sabemos de antemano cuáles son los que queremos.

Estos números están empaquetados en una forma conveniente que permite demostrar resultados para todos los números que podemos encontrar en nuestros viajes matemáticos. Resulta especialmente útil saber que los números reales son esencialmente un modelo único para las propiedades definitorias clave, de modo que cuando probamos teoremas sabemos que estamos hablando de lo mismo.

Admitir límites contables de los racionales, en lugar de simplemente límites finitos, resulta tener consecuencias de gran alcance - por ejemplo, podemos demostrar el teorema del valor intermedio. Sin esto, demostrar la existencia de un punto relevante para el problema en cuestión puede requerir un análisis más complejo caso por caso.

Un enriquecimiento similar de las posibilidades ocurre en la teoría de la medida, donde las medidas contables aditivas marcan una gran diferencia.

Answer 4

Casi todos los modelos físicos utilizan EDP: ecuaciones diferenciales parciales (y EDO). Sin números reales, ¿cómo se hacen las EDP? Una cosa es medir cantidades en el laboratorio, pero sin las EDP, nuestras matemáticas descripciones de la naturaleza sería muy pobre.

Answer 5

Los matemáticos no calculan cosas. Los ordenadores calculan cosas.

Los matemáticos no están limitados por la computación, al igual que las máquinas de Turing no están limitadas por $2^{1024}$ gigabits de cinta.

Los números reales son una herramienta, y resulta ser útil. Como los matemáticos son utilitarios, les gustan las cosas útiles. Así que utilizan los números reales. Si quieres preguntar por qué físicos necesita los números reales, debería preguntarlo en Physics.SE o en alguna otra comunidad centrada en la física.

¿Por qué a los matemáticos les gustan los números reales? Porque son cerrados bajo la toma de límites, lo que los hace ideales para hablar de aproximaciones por números racionales, algo que podemos comprender fácilmente (esto es cierto al menos en principio la noción de número racional).

Al estar cerradas no tenemos que preocuparnos y llevar la cuenta de si nuestra secuencia es convergente o no, si la propia secuencia es computable, si estas propiedades se mantienen o no. Tenemos una secuencia arbitraria, si sabemos que es una secuencia de Cauchy, entonces sabemos que tiene un límite.

Por eso, los matemáticos tienden a adoptar el axioma de elección cuando trabajan fuera del "dominio contable". Cuando quieres hacer una afirmación sobre "todos los anillos conmutativos con una unidad", no quieres empezar a añadir condiciones una y otra vez, que ayuden a que tu prueba pase. Quieres decir "Toma cualquier tal o cual objeto, entonces podemos hacer esto y aquello". Y punto. Utilitarismo a raudales.