Se supone que este límite es$0$ pero obtengo$2$, ¿por qué?

Question

Me dicen que $$ \ lim_ {x \ to0} \ left (4x ^ 2 \ sin ^ 2 \ left (\ frac {1} {x} \ right) -x \ sin \ left (\ frac {2} { x} \ right) \ right) = 0, $$ pero cuando calculo esto a mano, obtengo$2$, ¿por qué? Pensé que este límite es $$ 4 \ lim_ {x \ to0} \ left (\ frac {\ sin \ left (\ frac {1} {x} \ right)} {\ frac {1} {x}} \ derecha) ^ 2-2 \ lim_ {x \ to0} \ frac {\ sin \ frac {2} {x}} {\ frac {2} {x}} = 4-2 = 2. $$

¿Que estoy haciendo mal? Y en general, ¿cómo puedo notar que el método que utilicé no es correcto?

Answer 1

Tendrá que usar el teorema de compresión (teorema de sándwich) en cada término aquí:

$-4x^2 \le 4x^2\sin^2\left(\frac{1}{x}\right) \le 4x^2$

y

$-x \le x\sin\left(\frac{1}{x}\right) \le x$

¿Qué puedes decir sobre$ \displaystyle\lim_{x\to 0} \pm 4x^2$ y$\displaystyle\lim_{x \to 0} \pm x$?

Answer 2

Porque:$\dfrac{\sin\infty}{\infty}=0\ne\infty$ porque el denominador es muy grande.

Obviamente todos esos valores están tendiendo y no son exactos.

Answer 3

Otra forma es utilizar $\lim f.g=\lim f\cdot \lim g \tag{1}$.
Esto sólo es cierto si los límites individuales, $\lim f$ $\lim g$ son finitos.
En nuestro caso $f(x)=x^2$$g(x)=\sin\left(\dfrac1{x^2}\right)$.
Queremos encontrar a $\lim\limits_{x\to 0} f(x)\cdot g(x)$. Necesitamos examinar los límites individuales aquí. Como $x^2$ tiende a $0$ $x\to 0$ $\lim f(x)$ existe. Ahora la pregunta es ¿$\lim\limits_{x\to 0}\sin\left (\dfrac1x \right)$ existe. No, no , pero es finito porque $\sin$ función siempre se encuentra en $[-1,1]$. Así
$$\lim_{x\to 0} f(x)\cdot g(x)=\lim_{x\to 0} f(x) \lim_{x\to 0} g(x)$$
$$\lim_{x\to 0} x^2\cdot \sin\left(\dfrac1{x^2}\right)=\lim_{x\to 0} x^2\cdot \lim_{x\to 0}\sin\left(\dfrac1{x^2}\right)=0\cdot \text{a finite quantity}$$
Como sabemos $0$ a un valor finito es $0$, por lo que el límite de $f(x)g(x)$$x\to0$$0$.

Answer 4

$\lim x$ tiende a$0$,$\dfrac{\sin x}{x}=1$ no$(\sin\dfrac1x)/\dfrac1x$ que es$=\ 0$.