¿Por qué usan la palabra "abstracto" para nombrar campos de estudio matemáticos?

Question

He encontrado algunos libros con títulos como análisis abstracto - pero no entiendo por qué eligen esa palabra. Para mí parece bastante vago y tal vez engañoso - considera los ejemplos:

• Análisis Real
• Análisis Complejo

En este caso, parece estar claro con qué están tratando: números reales y complejos y también algunas estructuras que emergen de ellos. Ya he visto libros que se llamaban análisis abstracto y cubrían análisis real y complejo y también otros libros que tenían el mismo nombre y cubrían teoría de la medida. Lo mismo ocurre con el álgebra abstracta, pero en este caso, parece estar fijado a conceptos como anillos, cuerpos, monoides, etc.

Esta pregunta puede ser una invitación a una discusión, pero no lo es: realmente estoy tratando de entender el uso de la palabra abstracto - no estoy seguro si realmente se emplea en este sentido vago y amplio o si hay algo que aún no sé.

Answer 1

La palabra abstracto cuando se refiere a campos de estudio en matemáticas siempre se utiliza en un sentido vago que no es demasiado preciso. Simplemente significa que el estudio se basa en las propiedades abstractas de la estructura, como por ejemplo los axiomas de grupo, de manera que se aplica a todos los grupos y no solo a un grupo concreto como los enteros bajo la adición. Por convención en la literatura matemática, se utiliza álgebra abstracta para referirse al estudio de grupos, anillos y campos, entre otros.

El término análisis abstracto se utiliza menos comúnmente y aparece, por ejemplo, en el título del conocido libro Análisis Real y Abstracto de Hewitt y Stromberg. Esto se refiere a que no solo estudiamos los números reales, sino también objetos como espacios de funciones de manera axiomatica. Hewitt y Ross escribieron otro libro, Análisis Armónico Abstracto, que estudia el análisis armónico en grupos topológicos en lugar del clásico análisis de fourier en espacios euclídeos.