¿Se puede extender la regla de la suma de las derivadas a las series infinitas?

Question

He escrito una respuesta aquí que no estoy seguro de que funcione.

La regla de la suma para la diferenciación de dos funciones dice que $D(u+v) = D(u) + D(v)$ donde $D$ indica la derivada, y $u$ y $v$ dos funciones. La regla de la suma puede extenderse a cualquier conjunto finito de funciones. Como los números pueden considerarse funciones, esto implica que para cualquier serie finita $S=a + b + \dots+z$ podemos evaluar $D(S).$ ¿Podemos extender la regla de la suma a la diferenciación de series infinitas convergentes? ¿Series infinitas divergentes? ¿Por qué sí o por qué no?

Answer 1

No es así. En realidad, lo que quieres es una convergencia uniforme y una serie mayoritaria.

DEFINICIÓN 1 Dejemos que $f_n(x)$ sea una secuencia de funciones. En particular, supongamos que $f_n(x)=\sum_{k=0}^n g_k(x)$ para alguna secuencia $\{g_k\}_{k\in \mathbb N}$ de funciones. Sea $D$ sea el conjunto de puntos $x$ tal que $\lim f_n(x)$ existe. Llame a $D$ el dominio de convergencia de $f=\lim f_n$ .

Una propiedad importante que puede tener una serie es la de ser mayoritaria.

DEFINICIÓN 2 Decimos que una serie de funciones es mayorante en un determinado dominio $D'$ si existe una serie positiva convergente $A=\sum a_k$ tal que, para cada $x$ en ese dominio $D'$ tenemos $|g_k(x)|\leq a_k$ . Dada una serie $f=\lim f_n=\lim\sum^n g_k$ decimos que $f$ converge absolutamente si $f^*=\lim\sum^n |g_k|$ converge. (Así, una serie mayoritaria es absolutamente convergente).

Otro caso importante es la convergencia uniforme:

DEFINICIÓN 3 (Convergencia uniforme) Decimos que una serie de funciones converge uniformemente en $D$ si para todo $\epsilon>0$ hay un $N$ (según sólo en $\epsilon$ ), de manera que $n\geq N$ implica $$|f(x)-f_n(x)|<\epsilon$$

Solemos decir $N$ es independiente de la elección de $x$ También. Puede imaginarse este comportamiento de la siguiente manera: Cada suma parcial está siempre contenida en la franja dentro de $f(x)+\epsilon$ y $f(x)-\epsilon$ de ancho $2\epsilon$ .

En particular, toda serie mayoritaria converge uniformemente. Esto se conoce como la $M$ criterio. Para las series de mayorantes, es válido lo siguiente:

TEOREMA 1 Si la serie $\sum u_k(x)$ compuesto por funciones con derivadas continuas en $[a,b]$ converge a una función de suma $s(x)$ y la serie $$\sum u'_k(x)$$ compuesto por estos derivados es mayoritario en $[a,b]$ entonces $$s'(x)=\sum u'_k(x)$$

Esto se debe a

TEOREMA 2 Dejemos que $s(x)=\sum u_k(x)$ sea una serie de funciones continuas, mayoritarias en alguna $D$ . Entonces, si $x$ y $\alpha$ están en $D$

$$\int_\alpha^x s(t)dt=\sum\int_\alpha^xu_k(t)dt$$

Puedes leer esto con mucho más detalle, y encontrar pruebas, en (IIRC) Apostol's Calculus (Vol.1)

Answer 2

La regla de la suma está bien para series infinitas absolutamente convergentes. Para la convergencia condicional (es decir, en el límite del intervalo de convergencia) se encontrarán problemas. Por ejemplo $$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \ldots$$ es condicionalmente convergente en $x = -1$ por lo que el intervalo de convergencia es $[-1, 1)$ tomando las derivadas, obtenemos $$\frac{1}{(1-x)^2} = 1 + 2x + 3x^2 + \ldots$$ y ahora el intervalo de convergencia es sólo $(-1, 1)$ .