Determinar si un campo vectorial es conservativo

Question

Para un campo vectorial $\vec{F}(x,y,z) = \langle F_1(x,y,z), F_2(x,y,z), F_3(x,y,z) \rangle$ en $\mathbb{R}^3$ ¿Cómo puedo utilizar las derivadas parciales de segundo orden mixtas de cada uno de los componentes para determinar si es conservador? ¿Qué derivadas parciales debo comparar?

Answer 1

Debería comprobar que

$$ \frac{\partial F_1}{\partial y} = \frac{\partial F_2}{\partial x}, \\ \frac{\partial F_1}{\partial z} = \frac{\partial F_3}{\partial x}, \\ \frac{\partial F_2}{\partial z} = \frac{\partial F_3}{\partial y}. $$

Una forma fácil de recordar esto es llamar a sus variables $x^1,x^2,x^3$ (en lugar de $x,y,z$ ). A continuación, debe comprobar que

$$ \frac{\partial F_i}{\partial x^j} = \frac{\partial F_j}{\partial x^i} $$

para todos $i \neq j$ . Esto funciona en todas las dimensiones.

Answer 2

Supongamos que las derivadas de los componentes de $\vec F$ son funciones continuas. Si $\vec F = \left<P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\right>$ eran el gradiente de una función $f(x,y,z)$ entonces $$ \frac{\partial f}{\partial x} = P \text{,}\qquad \frac{\partial f}{\partial y} = Q \text{,}\qquad\text{and}\qquad \frac{\partial f}{\partial z} = R $$ Tomando la derivada de ambos lados de la primera ecuación con respecto a $y$ y la segunda ecuación con respecto a $x$ obtenemos $$ \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y} \qquad\text{and}\qquad \frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} $$ Por el teorema de Clairaut los lados izquierdos de las dos ecuaciones son iguales. Por lo tanto, $$ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} $$ Del mismo modo, se puede demostrar que $$ \frac{\partial P}{\partial z} = \frac{\partial R}{\partial x} \qquad\text{and}\qquad \frac{\partial Q}{\partial z} = \frac{\partial R}{\partial y} $$ Todos estos son necesario condiciones para $\vec F$ para ser conservador. Pueden escribirse en una forma que no suponga sólo tres variables o, en el caso de tres variables, en una forma vectorial. Si estas ecuaciones no se cumplen $\vec F$ no puede ser conservador.

La gran pregunta es cuándo estas condiciones son suficiente también. La respuesta es que mientras el dominio de $\vec F$ está conectado y simplemente conectado, son suficientes. Esto se deduce del Teorema de Stokes.

Answer 3

Pista: demuestre que $$\nabla\times\vec F(x,y,z) = \vec 0$$

Entonces, se deduce fácilmente que $\vec F $ es conservador.

Answer 4

Si $\nabla G = <G_x,G_y,G_z> \ = F = \ <F_1,F_2,F_3>$ para algunos $G(x,y,z)$ entonces $F$ es conservador.

$(F_1)_y = (G_x)_y = G_{xy} = G_{yx} = (G_y)_x = (F_2)_x$ .

Así que, $\displaystyle \frac{\partial F_1}{\partial y} = \frac{\partial F_2}{\partial x}$ debe aguantar.

Las otras dos ecuaciones son similares, y se dan en otras respuestas.

Answer 5

El criterio es $$ \DeclareMathOperator{curl}{curl} \curl F = \epsilon_{ijk} e_i \partial_j F_k = 0 $$ donde sumamos sobre los mismos índices, y $\epsilon_{ijk}$ es el signo de la permutación $(ijk)$ o cero si los valores del índice se repiten.