Transformación lineal ortogonal.

Question

Si$T:\mathbb{R^2}\to \mathbb{R^2}$ es una transformación lineal tal que$\langle x,y \rangle =0 \implies \langle T(x),T(y) \rangle =0 $ para cada$x,y \in \mathbb{R^2} $, muestre que$T=aS$, donde$S:\mathbb{R^2}\to \mathbb{R^2}$, es una transformación ortogonal.

Mi intento.

En lugar de mostrar$T$ ortogonal, he decidido mostrar$S=\frac{1}{a}T$ ortogonal.

Para esto necesitamos mostrar que$\langle S(x),S(x) \rangle = \langle x,x \rangle $. Entonces permito que$x=x_1e_1+x_2e_2$. Pero no puedo deshacerme de$a$. ¿Mi enfoque es correcto?

Answer 1

En primer lugar, observe que si$x_1y_1 + x_2y_2 =0$, entonces asumiendo$x_1y_1\langle T(e_1),T(e_1) \rangle + x_2y_2\langle T(e_2),T(e_2) \rangle =0.$ en particular, para$x= \left( \begin{array} \ 1 \\ -1 \end{array} \right) $ y$y= \left( \begin{array} \ 1 \\ 1 \end{array} \right) $ obtenemos$\langle T(e_1),T(e_1) \rangle = \langle T(e_2),T(e_2) \rangle$. Ahora configure$a:= \sqrt{\langle T(e_1),T(e_1) \rangle} = ||T(e_1)||$ y verifique que$\frac{1}{a}T$ sea de hecho ortogonal.