Pregunta sobre la propiedad Souslin

Question

He estado trabajando en problemas relacionados con la propiedad Souslin. Un espacio topológico$X$ tiene la propiedad Souslin si cada familia desunida por pares de subconjuntos abiertos no vacíos de$X$ es contable.

Encontré este problema y estoy teniendo problemas para formular una prueba.

Un espacio metrizable$X$ tiene la propiedad Souslin si y solo si tiene una base contable.

¿Alguien puede ayudar? ¡Gracias por adelantado!

Answer 1

Deje $\langle X,d\rangle$ ser un no-separables de espacio métrico. Si $A\subseteq X$ es contable, entonces $\operatorname{cl}A\ne X$, de modo que podemos elegir un punto de $x\in X\setminus A$. Esto significa que podemos de forma recursiva la construcción de un conjunto de $\{x_\xi:\xi<\omega_1\}\subseteq X$ que si $F_\eta=\operatorname{cl}\{x_\xi:\xi<\eta\}$ por cada $\eta<\omega_1$,$x_\xi\notin F_\xi$$\xi<\omega_1$. Para cada una de las $\xi<\omega_1$ hay un $n(\xi)\in\omega$ tal que $B\left(x_\xi,2^{-n(\xi)}\right)\cap F_\xi=\varnothing$. Para $k\in\omega$ deje $A_k=\{\xi<\omega_1:n(\xi)=k\}$; hay algunos $m\in\omega$ tal que $A_m$ es incontable. Mostrar que $$\left\{B\left(x_\xi,2^{-(m+1)}\right):\xi\in A_m\right\}$$ es un innumerable familia de pares distintos bloques abiertos. A la conclusión de que si un espacio metrizable tiene la Suslin de la propiedad, debe ser separables. (La otra dirección es trivial.)

Answer 2

He estado tratando de llegar con una simple prueba para responder a su pregunta( Cerebro la respuesta es de curso completo y grande, pero todavía me pareció una simple prueba). Así que aquí está:

Si $X$ ha contables de la base, entonces es fácil ver que $X$ ha Souslin de la propiedad. Ahora vamos a $X$ ser un espacio métrico con Souslin de la propiedad. Por el Bing metrization teorema $X$ $\sigma$discreto de base $\mathscr{B}=\bigcup_n\mathscr{B}_n$, donde cada una de las $\mathscr{B}_n$ es discreto. Desde $X$ ha Souslin de la propiedad , cualquier discretos de la familia de abrir establece en $X$ es contable, por lo que cada una de las familias $\mathscr{B}_n$ es contable, y por lo tanto la base de $\mathscr{B}$ contables es así.