Cómo demostrar que la estadística de la prueba de rangos con signo de Wilcoxon es simétrica respecto a la media

Question

¿Cómo demostrar que la estadística de la prueba de rangos con signo de Wilcoxon es simétrica respecto a su media?

Sé que si quiero demostrar que una distribución es simétrica, tengo que demostrar $f(m-t)= f(m+t)$ pero $W$ no tiene un pmf "fácil" así que no sé cómo hacerlo.

He probado un pequeño número de $n$ y puedo ver fácilmente que (calculando todas las posibilidades) es simétrica respecto a su media.

Answer 1

Recuerda cómo funciona esta prueba. Los datos consisten en $n$ pares ordenados $(x_i,y_i),i=1,2,\ldots,n$ . Se sigue un procedimiento -los detalles no importan- para asignar un número entero $R_i$ a cada par según el tamaño de su diferencia, $|x_i-y_i|$ . La estadística de prueba $W$ es la suma de los $R_i$ correspondientes a los índices $i$ con una diferencia positiva menos la suma de todos los $R_i$ correspondiente a $i$ con una diferencia negativa.

La hipótesis nula es que estas diferencias son realizaciones de variables independientes que tienen una distribución simétrica común en torno a cero. Este es nuestro punto de partida, así que vamos a tener claro lo que significa. Dejando que $(X,Y)$ sea una variable aleatoria de la que cada $(x_i,y_i)$ es una realización independiente, "simétrica" significa que las distribuciones de $X-Y$ y $-(X-Y) = Y-X$ son los mismos.

La conclusión es ahora inmediata: la simetría bajo el nulo implica que podríamos igualmente calcular $W$ invirtiendo cada par ordenado; es decir, sustituyendo los datos $(x_i,y_i)$ avec $(y_i,x_i)$ . Esto cambia todos los signos de la $x_i-y_i$ pero deja sus tamaños iguales (de ahí el $R_i$ no cambian), y por lo tanto simplemente niega $W$ . En consecuencia, $W$ y su $-W$ tienen la misma distribución, QED .