Sobre mapas entre grupos de homología.

Question

Cuando se trata inducida por homomorphisms entre la homología de grupos, tengo problemas para entender lo que son surjective o inyectiva. Por ejemplo, el único mapa $p: X \to \{x\}$ donde $x$ es un punto en $X$ induce un homomorphism $p_*: H_n(X) \to H_n(\{x\})$. Claramente $p$ es surjective, y si bien tiene sentido intuitivamente, tengo problemas para mostrar por qué la $p_*$ es demasiado. Es lo mismo que probar que el mapa inducida por la inclusión $i_*: H_n(\{x\}) \to H_n(X)$ es una inyección.

En general, es siempre el caso de que si un mapa continuo de espacios topológicos $f: X\to Y$ es inyectiva (resp. surjective), a continuación, la inducida por homomorphisms $f_*: H_n(X) \to H_n(Y)$ será inyectiva (resp. surjective)?

Answer 1

1) El mapa$p$ tiene un inverso de una cara$i\colon\{x\}\to X$. Entonces$p_*\circ i_*=(p\circ i)_*=id_*=id$, así que$i_*$ es una inyección y$p_*$ es una inyección.

2) No siempre es el caso. Por ejemplo, cualquier$X$ razonable puede incrustarse en$\mathbb R^N$ (para$N$ lo suficientemente grande) y$H_n(\mathbb R^N)=0$ para$n>0$, entonces, por lo general, el mapa inducido en la homología no es inyectiva (quizás, el ejemplo más sencillo es$S^1\to D^2$).

Pero si$f\colon X\to Y$ no es solo inyectivo sino que tiene un inverso (correcto), entonces es cierto por el argumento de 1).

Answer 2

Solo para dar seguimiento a la respuesta de @Grigory M, y para abordar la sobreyectividad, puede considerar un mapa$I\to S^1$ que envuelve el intervalo alrededor del círculo una vez. Este mapa es un mapa de espacios continuo sobreyectivo, pero no es superyectivo en$H_1$.

Answer 3

Si $X$ es un espacio topológico y si $A$ es un subespacio de $X$, luego una retracción $r:X\to A$ es una función continua tal que $r(a)=a$ todos los $a\in A$. El siguiente ejercicio le preste la práctica con la noción de "retracción":

Ejercicio 1: Vamos a $i:A\to X$ denotar la inclusión del mapa.

(a) Probar que si $X$ es un espacio de Hausdorff y si $r:X\to A$ es una retracción, a continuación, $A$ es un subconjunto cerrado de $X$.

(b) Demostrar que una función continua $r:X\to A$ (donde $A$ es un subespacio de $X$) es una retracción de la si y sólo si $r\circ i$ es el mapa de identidad de $A$.

(c) Demostrar que existe una retracción $r:\mathbb{R}^n\setminus \{0\}\to S^{n-1}$ donde $S^{n-1}$ $(n-1)$- esfera en $\mathbb{R}^n$. (Sugerencia: defina $r(x)=\frac{x}{\left\|x\right\|}$ todos los $x\in \mathbb{R}^n\setminus \{0\}$ donde $\left\|x\right\|$ denota la norma Euclídea de $x$.)

Tenga en cuenta que la parte (b) del Ejercicio 1 tiene una consecuencia importante desde el punto de vista de la teoría de la homología. De hecho, la functorial propiedades de la homología singular teoría implica que $r_{*}\circ i_{*}:H_n(A)\to H_n(A)$ es el mapa de identidad en la homología para todos los números enteros no negativos $n$ (un análogo de la declaración sostiene para la reducción de homología). En particular, $r_{*}:H_n(X)\to H_n(A)$ es un epimorphism (surjective) para todos los números enteros no negativos $n$ $i_{*}:H_n(A)\to H_n(X)$ es un monomorphism (inyectiva) para todos los números enteros no negativos $n$.

Ahora debería ser capaz de resolver el siguiente ejercicio:

Ejercicio 2:

(a) Demostrar que no hay retracción $r:B^{n}\to S^{n-1}$ para todos los enteros positivos $n$. (Sugerencia: la cerrada $n$-ball $B^{n}$ es acíclico en la reducción de la homología, mientras que el $(n-1)$-esfera no lo es).

(b) Probar que si $f:S^{n-1}\to S^{n-1}$ es una función continua y si $r:B^{n}\to S^{n-1}$ es una extensión de $f$$B^{n}$, $f$ induce el cero homomorphism en la homología. (Sugerencia: utilice el functorial propiedades de homología singular.)

(c) (Brouwer del teorema de punto fijo) Probar que toda función continua $f:B^{n}\to B^{n}$ tiene un punto fijo para todos los enteros positivos $n$. (Sugerencia: si $f:B^{n}\to B^{n}$ es una función continua, sin un punto fijo, a continuación, $g:S^{n-1}\to S^{n-1}$ definido por la regla $g(x)=\frac{f(x)-x}{\left\|f(x)-x\right\|}$ tiene una extensión de una función continua $r:B^{n}\to S^{n-1}$. En particular, $g$ induce el cero homomorphism en la homología de la parte (b). Muestran, sin embargo, que el $g$ es homotópica a la identidad mapa de $S^{n-1}$ y por lo tanto induce el mapa de identidad en la homología. Derivar una contradicción mediante el cálculo de la homología singular de la $(n-1)$-esfera $S^{n-1}$.)

Espero que esto ayude!