Refutar el límite$\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}=5$ con épsilon-delta

Question

Entiendo cómo probar un límite como$\lim_{x\to 3}x^2=9$. Ahora me preguntaba, ¿puede uno también usar el método épsilon-delta para desestimar un límite como:$$\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}=5

¿Si es así, cómo?

¡Gracias!

Answer 1

Insinuación:

¿Cuál es la negación de$$\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0\;\forall x\;\biggl(\lvert x\rvert<\delta\implies\biggl\lvert\frac1x-5\biggr\rvert<\varepsilon\biggr)??

Segunda pista:

En términos generales, la negación de una implicación es un contraejemplo.

Answer 2

Dado$\epsilon> 0$, queremos encontrar$\delta> 0$ tal que si$|x- 0|= |x|< |\delta|$ entonces$|\frac{1}{x}- 5|< \epsilon$. Por supuesto,$|\frac{1}{x}- 5|= |\frac{1- 5x}{x}|$ entonces, si x es positivo,$|\frac{1}{x}- 5|<\epsilon$ es lo mismo que$\frac{1- 5x}{x}< \epsilon$ o$1- 5x< \epsilon x$,$1< (5+ \epsilon)x$,$x> \frac{1}{5+ \epsilon}$. Pero como el lado derecho de eso es positivo,$|\frac{1}{x}- 5|<\epsilon$ [b] no puede [/ b] ser cierto para todos$|x|< \delta$ para cualquier$\delta$.

Answer 3

¡Sí tu puedes! Solo muestre que no hay$\delta$ correspondiente a un valor específico de$\epsilon$.