Cuestion De Algebra De Banach

Question

Supongamos $A$ es un conmutativa álgebra de Banach con la identidad y la $I\subset A$ es un ideal. Si hay un único ideal maximal $M$ $I\subset M$ no se sigue que la $I=M$? O que $I$ es denso en $M$?

Una respuesta asumiendo $A$ es semi-simple sería suficiente; de hecho, el caso que yo estoy realmente interesado en es $A=L^1(G)$ donde $G$ es un discreto grupo abelian. (Así que esto parece estar relacionado con Wiener del Tauberian Teorema; si estoy recordando la definición correctamente WTT dice que $\emptyset\subset\hat G$ es un conjunto de síntesis espectral, mientras que la corriente que pide la pregunta de si son los únicos conjuntos de la síntesis espectral.)

Answer 1

En cuanto a su primera pregunta, la respuesta es no, ya que existen álgebras de Banach conmutativas unitales que también son anillos locales . Por ejemplo, considere la unificación de

$$R = \{f\in L_0((0,\infty))\colon \int\limits_0^\infty |f(t)|e^{-t^2}\, {\rm d}t <\infty\}, dotado con el producto de convolución:

PS

Entonces$$(f\ast g)(t) = \int\limits_0^t f(t-s)g(s)\,{\rm d}s.$está contenido en$\{0\}$, el ideal máximo único de$R$.

Responderé por la segunda parte más adelante.