Sobre el generador de un subgrupo de conmutador cíclico

Question

El siguiente problema aparece en el libro de I. Macdonald sobre teoría de grupos:

Sea G un grupo tal que

(1)$[G,G]$ es infinito cíclico.

(2)$[G,G]\subseteq Z(G)$.

Demostrar que$[G,G]$ es generado por un solo conmutador .

Quiero considerar esta pregunta con una cara diferente.

P. ¿Hay un grupo$G$ que satisface solo (1), pero$[G,G]$ no es generado por un conmutador?

Answer 1

Creo que la respuesta es no, no hay ningún ejemplo.

Si (1), y se mantiene, pero (2) no, ya que el automorphism grupo de un infinito cíclico grupo tiene orden de $2$, el centralizador $H$ $[G,G] = \langle z \rangle$ $G$ índice de $2$$G$, e $t^{-1}zt=z^{-1}$$t \in G \setminus H$. Elegir un $t$.

Supongamos primero que $H$ es abelian. A continuación, $[G,G]$ es generado por los elementos de a$[t,h]$$h \in H$. Desde $H$ es abelian, tenemos $[t,hk] = [t,h][t,k]$$h,k \in H$, y así el mapa de $H \to [G,G]$ definido por $h \mapsto [t,h]$ es un surjective homomorphism, y por lo tanto no debe existir $h \in H$$[t,h] = z$.

De lo contrario, $H$ es nonabelian, y no existe $h,k \in H$ $[h,k] = z^n$ algunos $n>0$. A continuación, $t^{-1}ht = hz^i$ $t^{-1}kt = kz^j$ algunos $i,j$, y por lo $z^{-n} = t^{-1}z^nt = t^{-1}[h,k]t = [hz^i,kz^j] = [h,k] = z^n$, una contradicción.