Límite al infinito:$ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}n\left(1-\frac{1}{\ln(n)}\right)^n$

Question

Maple dice que este límite es cero pero no puedo probarlo. Cualquier ayuda o consejo sería apreciado.

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}n\left(1-\frac{1}{\ln(n)}\right)^n$

Answer 1

$$\lim_{n\to\infty}n\bigg(1-\frac{1}{\ln(n)}\bigg)^n=\lim_{n\to\infty}n\bigg[\bigg(1-\frac{1}{\ln(n)}\bigg)^{\ln(n)}\bigg]^{\frac{n}{\ln(n)}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{e^{\frac{n}{\ln(n)}}}=0$ $ Donde usé el hecho de que$$\lim_{a_n\to\infty}\left(1-\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}=e^{-1}$ $ y para$\ n\to\infty$$$\ n>>\ln(n)$ $