Una secuencia creciente $a_i \in \mathbb{N}$ tal que $a_{j}-a_{i}\mid a_{j}-1$ para todos $i<j$

Question

Cómo demostrar o refutar que existe un conjunto de números naturales $$a_{1}<a_{2}<\cdots$$ con la propiedad de que, para cada $i<j$ , $$a_{j}-a_{i}\mid a_{j}-1\quad ?$$ Creo que no funciona para muy grandes $a_{j}$ y muy pequeños $a_{i}$ 's.

Answer 1

No existe tal secuencia.

Supongamos por contradicción que tenemos tal secuencia, y para cualquier $j>i$ tenemos $a_j-a_i\vert a_j-1$ . Entonces $a_j=1$ o $a_i=1$ o $a_j>2(a_j-a_i)$ (porque $a_j=1+k(a_j-a_i)$ para algunos $k\geq 0$ los tres casos correspondientes a $k=0,1$ y $k\geq 2$ ).

Los dos primeros casos sólo son posibles para $i$ por lo que podemos descartarlos (podemos suponer que la secuencia comienza con números arbitrariamente grandes cortando el principio).

El último nos da $2a_i>a_j$ con cualquier $i$ y todos $j>i$ . Pero por supuesto $a_{i+a_i}\geq 2a_i$ por lo que tenemos una contradicción.