Deje $A=diag(a_j),B=[b_{j,k}]=[c_{j,k}]+i[d_{j,k}]$; a continuación,$f(B)=Re(\sum_ja_jb_{j,j})=\sum_ja_jc_{j,j}$. Claramente, para cada $j$, $|c_{j,j}|\leq 1$. Por el contrario, considere la posibilidad de $(u_j)_j$ s.t., para cada $j$, $|u_j|\leq 1$; entonces podemos escribir $u_j=\cos(\theta_j)$ $diag(e^{i\theta_j})$ es unitaria. Suponemos que $a_1,\cdots,a_p>0,a_{p+1},\cdots,a_q<0$ y el otro $(a_j)_j$ son cero.
Finalmente, consideramos que la función $g:(c_{j,j})_j\in [-1,1]^{p+q} \rightarrow \sum_ja_jc_{j,j}$. Los extremos locales, que son, global máximo y el mínimo, son alcanzados por $(c_{j,j})=(signum(a_j))$$(c_{j,j})=(-signum(a_j))$.
EDICIÓN 1. Los puntos extremos de la $(\pm 1)_j$$[-1,1]^{p+q}$, el convexo de dominio de $g$, de dar a luz a los siguientes puntos críticos de $f$: la diagonal de las matrices $diag(\pm 1,\cdots,\pm 1)$.
La segunda derivada es inútil, porque ya sabemos dónde están los extremos locales.
EDICIÓN 2. No veo cuál es el interés de estudiar los puntos críticos de $f$. O Juan nos ofrece una tarea, ya sea que él piensa que es el mejor método para el estudio de los extremos de $f$ (obviamente, él está equivocado !). De hecho, cuando me reemplace$f$$g$, me matan los puntos críticos de $f$.
Considere el caso $n=2$. $(\theta ,a,b,h)\in \mathbb{R}^4\rightarrow \begin{pmatrix}\cos(\theta)e^{ia}&-\sin(\theta)e^{i(a+h)}\\\sin(\theta)e^{ib}&\cos(\theta)e^{i(b+h)}\end{pmatrix}$ es un local parametrización de $U(2)$ (CORRECCIÓN) sólo al $J=\sin(\theta)\cos(\theta)\not= 0$.
Aquí, suponemos que $a_1,a_2\not= 0$$f:(\theta ,a,b,h)\in \mathbb{R}^4\rightarrow \cos(\theta)(a_1\cos(a)+a_2\cos(b+h))$. Sus puntos críticos (por $J\not= 0$) son soluciones de $a_1\cos(a)+a_2\cos(b+h)=0,\sin(a)=0,\sin(b+h)=0$. Si $a_1\not=-a_2$, entonces ninguna de esas soluciones; si $a_1=-a_2$,$\cos(a)=\cos(b+h)=\pm 1$, es decir, una infinidad de soluciones que dependen de los parámetros $\theta,h$.
