La educación a distancia sistema de problemas a través de la secuencia de funciones

Question

Deje $y' = Ay$ donde$A = \begin{pmatrix} 0&1 \\ -1& 0 \end{pmatrix}$$y( 0 ) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$. Considerar el mapa de $$G: C(\mathbb{R},\mathbb{R}^2) \to C(\mathbb{R},\mathbb{R}^2), G(\phi)(x) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \int_0^x A\phi(t) dt$$.

Con $\phi_0(x) = \begin{pmatrix} 1\\0\end{pmatrix}$$\phi_{n+1} = G(\phi_n)$, cómo encontrar y probar la fórmula general para $(\phi_n)_{n\in\mathbb{N}}$?

Answer 1

Tenga en cuenta que \begin{equation} \begin{split} & \phi_{n+1}' = A\phi_n \\ \implies & \phi_{n}^{(n)} = A^n\phi_0, \end{split} \end{equation} que es un vector constante. Esta muestra $\phi_n$ es un vector de polinomios con grado en la mayoría de las $n$. El $2(n+1)$ coeficientes puede ser encontrado por un sistema de ecuaciones lineales: para $s = 0, 1, \ldots k$, \begin{equation} \begin{split} \phi_n^{(s)} = A^{s}\phi_{n-s} \implies \phi_n^{(s)}(0) = A^s \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}. \end{split} \end{equation} Para cada una de las $s$, la fórmula anterior contribuye a $2$ ecuaciones lineales en los coeficientes.

Más precisamente, si nos vamos a $$p_s(x) = \dfrac{1}{s!}x^s, s = 0, 1, 2, \ldots, n,$$ y escribir $$\phi_n(x) = \begin{pmatrix} \sum_{s=0}^n C_s p_s(x) \\ \sum_{s=0}^n K_s p_s(x) \end{pmatrix}.$$ Entonces los coeficientes $C_s, K_s$ están dadas por $$ \phi_n^{(s)}(0) = \begin{pmatrix} C_s \\ K_s \end{pmatrix} = A^s \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}. $$ Es que ahora se reduce a encontrar una fórmula general para $A^s \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$.