Fórmula integral para el diferencial de la matriz exponencial

Question

Este es un problema de Jacques Faraut Análisis en grupos de Lie .

Dado $A,X\in M(n,\mathbb{R})$ , poned $F(t)=\exp(t(A+X))$ . En la primera parte del problema demostramos que $F$ es una solución de la ecuación integral $$F(t)-\int_0^t\exp((t-s)A)F(s)\,ds = \exp(tA).$$ Esto fue sencillo. Sin embargo, las siguientes partes me están dando problemas. Definimos una secuencia de mapas $W_k(t)$ par $W_0(t) = \exp(tA)$ y $$W_k(t) = \int_0^t \exp((t-s)A)XW_{k-1}(s)\,ds.\tag{1}$$ El problema es demostrar que la serie $\sum_{k=0}^\infty W_k(t)$ converge para cada $t$ y que converge a $F(t)$ . A continuación, se nos pide que demostremos la fórmula $$(D\exp)_AX = W_1(1)=\int_0^1\exp((1-s)A)X\exp(sA)\,ds.\tag{2}$$

Creo que he demostrado $\sum_{k=0}^\infty W_k(t)$ converge tomando la norma de (1) y aplicando la inducción, lo que me permite comparar la suma con una serie de potencias convergente para $t$ . No tengo la menor idea de cómo mostrar que la serie converge a $F(t)$ sin embargo. Intenté convertir $\exp$ a una suma formal y mostrando que $\sum_{k=0}^\infty W_k(t) = \sum_{j=0}^\infty t^j(X+A)^j/j!$ pero el hecho de que $W_k$ se define a través de la integración recursiva hace que esto sea difícil. Tampoco estoy seguro de cómo demostrar la fórmula (2), ya que no tenía claro cómo aplicar las partes anteriores.

He buscado otras formas de demostrar el resultado (2), y la mayoría de ellas parecen basarse en la manipulación de una familia de dos parámetros $\Gamma(s,t) = \exp(-sX(t))\,\partial_t\!\exp(tX(t))$ . Mi instinto me dice que estos dos métodos son más o menos equivalentes, pero no puedo descifrar su relación. Cualquier pista/ayuda/consejo es muy apreciado.

Answer 1

En primer lugar, una forma de demostrar que la suma de la serie $$\sum_{k = 0}^\infty W_k(t)$$ es igual a $F(t)$ . Definir el operador $Q$ actuando sobre funciones valoradas por la matriz de la siguiente manera: $$(QH)(t) = \int_0^t \exp((t - s)A)XH(s)ds.$$ La ecuación integral se puede escribir $$(I - Q)F = W_0.$$ Observe que $$W_k = QW_{k - 1} = Q^k W_0.$$ Definir $$G = \sum_{k = 0} W_k.$$ Utilizando la identidad $$(I - Q)(I + Q + \ldots + Q^k) = I - Q^{k + 1},$$ se obtiene, como $k \to \infty$ , $$(I - Q)G = W_0.$$ Por lo tanto, $G$ es la solución de la ecuación integral. Por la unicidad de la solución, $G = F$ .

$W_k$ es una función polinómica de $X$ que es homogénea de grado $k$ Por lo tanto $W_1(t)$ es la parte lineal en la expansión en serie de $F(t)$ , ese es el diferencial.

Answer 2

Esbozo de prueba:

Usted sabe $F(t)$ es continua de Lipschitz en $[0,\,1]$ .

Dejemos que $C^{0,\,1}[0,\,1]$ sea la clase de todos los cuadrados continuos de Lipschitz $n\times n$ funciones valoradas por la matriz en $[0,\,1]$ .

Por integración iterada, comprueba que algún número finito de iteraciones del operador:

$$\mathscr{L}: C^{0,\,1}[0,\,1] \to C^{0,\,1}[0,\,1];\quad \mathscr{L}f = e^{A\,t} + \int_0^1\,\exp((t-s)\,A)\,f(s)\,\mathrm{d} s$$

es contractiva. Véanse, por ejemplo, las pruebas del teorema de Picard-Lindlöf sobre los tipos de trucos que se utilizan para hacer esto.

A continuación, demuestre que las sumas parciales de su serie son los iterados del operador que comienza con la estimación Lipschitz-continua $F\approx \mathrm{id}$ .

Por el principio de contracción de los mapas entonces se sabe que la serie converge a la único solución de la ecuación integral, y ya se conoce una solución, por lo que tiene que ser el uno.

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Hay, como ya sabes, muchas formas diferentes de meterse con este tipo de ideas. Véase, por ejemplo, Rossmann, "Lie Groups: An introduction through Linear Groups", $\S$ 1.2, Teorema 1.5, o la generalización a grupos de Lie no matriciales que tengo en mi sitio web con el título "El hábil truco de Friedrich Schur" .

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P.D.: Es casi seguro que hay una prueba más directa para tu problema que no necesita los teoremas de fuerza completa, y me da un poco de vergüenza que no pueda verla de inmediato. Pero, en general, el tipo de técnica que casi siempre resuelve este tipo de problemas es convertir dos funciones supuestamente iguales en soluciones del mismo problema de Cauchy, y luego apelar a Picard-Lindlöf, o formular algo como el límite de una secuencia de iterados de un operador que se puede demostrar que es contractivo, o que es contractivo cuando se aplica un número finito de veces, y luego apelar al teorema del mapa de contracción (este último procedimiento es el mismo, pero más general, que la prueba de la versión local de Picard-Lindlöf).