¿Existen contraejemplos sencillos a un teorema de refuerzo de la omisión de tipos

Question

El famoso teorema de la omisión de tipos de Ehrenfeucht afirma que para cualquier conjunto contable de tipos no aislados (sin parámetros), existe un modelo (contable) tal que no realiza ninguno de ellos.

Un teorema similar, que por lo que sé se debe a Shelah afirma que para cualquier teoría completa $T$ con modelos infinitos, puede omitir cualquier conjunto de tipos COMPLETOS no aislados de cardinalidad inferior a $2^{\lvert T\rvert}$ -- anuncia el resultado en la introducción de La teoría de la clasificación y el número de modelos no isomórficos pero el libro es bastante difícil de leer y ni siquiera logré encontrar la prueba real, sin embargo, un esquema accesible para el caso contable se puede encontrar en La teoría del modelo de Wilfrid Hodges .

Sin embargo, esto provoca la siguiente conjetura, que generaliza el resultado anterior para las teorías contables:

Para cualquier teoría completa y contable $T$ con infinitos modelos, y cualquier subconjunto de $S_1(\emptyset)$ con el interior vacío, existe un modelo de $T$ omitiendo todos los tipos del conjunto.

Sería una generalización, ya que el espacio de tipos completos en una teoría contable es un espacio polaco (a través de su incrustación natural en el conjunto de Cantor, por ejemplo), por lo que en particular cualquier subconjunto abierto contiene un punto aislado o su cardinalidad es $2^{\aleph_0}$ .

Por otro lado, no he oído hablar de tal conjetura o teorema, aunque parece muy natural, ya que daría una caracterización completa de los conjuntos de tipos que pueden ser omitidos (es fácil ver que el vacío de interior es una condición necesaria), así que mi suposición es que hay contraejemplos conocidos, o es independiente de ZFC.

¿Estoy en lo cierto? Si es así, ¿hay contraejemplos sencillos? Si no lo estoy, ¿hubo alguna investigación prometedora en esa dirección, o tal vez es incluso un teorema?

Answer 1

La generalización propuesta es falsa. La hipótesis del interior vacío es demasiado débil, pero, como indica el comentario de Levon Haykazyan del libro de Tent y Ziegler, la afirmación sería correcta si se exigiera que el cierre del conjunto de tipos a omitir tiene el interior vacío.

He aquí un contraejemplo a la generalización de la pregunta. Dejemos que el lenguaje consista en un número contable de símbolos de predicado unario $U_n$ (uno por cada número natural $n$ ) y un símbolo de función unario $f$ . Que la teoría $T$ dicen que $f(x)\neq x$ y $f(f(x))=x$ para todos $x$ (así $f$ sirve para emparejar los elementos del universo de cualquier modelo de $T$ ), que $U_n(x)\iff U_n(f(x))$ para todos $x$ para cada $n\neq0$ pero $U_0(x)\iff\neg U_0(f(x))$ (por lo que los elementos emparejados satisfacen la misma $U_n$ excepto que no están de acuerdo con $U_0$ ), y, para cualquier subíndice distinto $n_i,\dots,n_k,m_1,\dots,m_l$ la fórmula que dice que hay un elemento $x$ satisfacer todas las $U_{n_1},\dots,U_{n_k}$ y ninguno de $U_{m_1},\dots,U_{m_l}$ (por lo que el $U$ predicados son combinatoriamente independientes). A menos que haya cometido un error estúpido (y fácilmente reparable), este $T$ es una teoría completa.

Para cada secuencia infinita $a=(a_0,a_1,\dots)$ de ceros y unos, hay un tipo $t_a$ que consiste en las fórmulas $U_n(x)$ para aquellos $n$ avec $a_n=1$ y $\neg U_n(x)$ para aquellos $n$ avec $a_n=0$ (y el $T$ -consecuencias de éstas, si su definición de "tipo" requiere el cierre bajo consecuencias). Nótese que la topología del espacio $S_1$ de tipos (en una variable) para $T$ coincide con la topología habitual del producto en el espacio de las secuencias $a$ .

Partición del conjunto de secuencias $(a_1,a_2,\dots)$ [intencionadamente empezando por el subíndice 1, no el 0] en dos trozos $Y$ y $Z$ ambos con el interior vacío. Por ejemplo, $Y$ podría consistir en aquellas secuencias que tienen infinitos ceros y $Z$ los que sólo tienen un número finito. Sea $X$ consisten en aquellas secuencias $a=(a_0,a_1,\dots)$ de manera que $a_0=0$ y $(a_1,a_2,\dots)\in Y$ o $a_0=1$ y $(a_1,a_2,\dots)\in Z$ . Este $X$ tiene el interior vacío, pero afirmo que ningún modelo puede omitir todos los tipos $t_a$ para todos $a\in X$ .

Para verificar la afirmación, supongamos, hacia una contradicción, que tuviéramos tal modelo, y consideremos algún elemento $q$ de ella. Supongamos que $U_0(q)$ se mantiene (en este modelo). (El caso en el que no se cumple se trata de forma simétrica). Definir $(a_1,a_2,\dots)$ al establecer $a_n$ igual a 0 si $U_n(q)$ se mantiene e igual a 1 si no se mantiene. Así que $q$ realiza el tipo $t_a$ donde $a=(0,a_1,a_2,\dots)$ . Si $(a_1,a_2,\dots)\in Y$ entonces $a\in X$ y tenemos la supuesta contradicción. Si, por el contrario, $(a_1,a_2,\dots)\in Z$ entonces $f(q)$ realiza $t_b$ donde $b=(1,a_1,a_2,\dots)\in X$ Así que de nuevo tenemos una contradicción.