Es fácil demostrar que para cualquier espacio topológico $X$ el cono $CX$ es contraíble. Me interesa lo contrario. Si $Y$ es un espacio contraíble, es $Y$ homeomórfico a $CX$ para algún espacio topológico $X$ ?
Me dijeron que la respuesta es no. Sin embargo, no he podido encontrar un contraejemplo. Tengo dos preguntas:
Toda una familia de contraejemplos proviene de los espacios finitos. Está claro que ningún espacio finito no vacío puede ser el cono de nada. Pero los espacios finitos contraíbles existen (incluso hay un libro entero al respecto, "Algebraic topology of finite topological spaces and applications", Barmak).
Una forma de convencerse rápidamente de que la respuesta debe ser "no" es que los conos están fuertemente relacionados con $[0,1]$ (¡por construcción!). Por lo tanto, cualquier cono tendrá que admitir alguna $\mathbb R$ -como las propiedades. Sin embargo, la contractibilidad es una propiedad topológica muy refinada y es muy poco probable que sólo porque un espacio sea contractible esté fuertemente relacionado con los números reales. Quizás esto cuente como una forma no constructiva de ver que los contraejemplos "deberían" existir.
Para un ejemplo explícito no finito, considere http://en.wikipedia.org/wiki/House_with_two_rooms
En la topología algebraica de Hatcher el ejercicio del primer capítulo da un ejemplo de que hay un espacio que es contráctil pero no homotópico a un punto (es decir, el espacio se puede contraer a un punto pero en el proceso hay que mover el punto) y todos sabemos que un cono siempre puede ser deformado retraído a un punto (gracias por señalar mi error). Así que creo que ese contraejemplo lo demuestra todo.
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