Hartshorne Lema(II 6.1)

Question

Hola me estoy preguntando lo que Hartshorne significa por "un afín subconjunto en el que $f$ es regular". Esto es parte de la primera frase en la prueba del lema 6.1 en el capítulo dos del libro "la Geometría Algebraica por Hartshorne". He Intentado buscar en forma regular en el índice, pero esto sólo me refiere a regular las funciones en las variedades que yo sepa, no tiene absolutamente nada que ver con el lema. Podría alguien por favor decirme lo que él se refiere.

Gracias

Answer 1

Deje $X$ ser un esquema integral. Entonces, para cualquier subconjunto $U$, el anillo de $\mathscr{O}_X (U)$ incrusta como un sub-anillo de la función de campo de $K (X)$ en forma canónica, y así, por cada punto de $x$$X$, el anillo local $\mathscr{O}_{X, x}$ es canónicamente un sub-anillo de $K (X)$.

Definición. Un elemento $f$ $K (X)$ es regular en $x$ si es en $\mathscr{O}_{X, x}$, considerado como un sub-anillo de $K (X)$, y es regular en un subconjunto $U$ si es en $\mathscr{O}_X (U)$, considerado como un sub-anillo de $K (X)$.

Answer 2

"$f$ es regular en $U$" sólo significa $f\in\mathcal{O}(U)$.