Informática: $\int_\Bbb R\frac{dt}{\cosh (\pi t )+\cos (\pi x )}~~0<x<1 $

Question

Se nos da el siguiente problema: demostrar la existencia y calcular las integrales

$$I(x)=\int_\Bbb R\frac{dt}{\cosh (\pi t )+\cos (\pi x )} $$

$$J(x)=\int_\Bbb R\frac{dt}{\cosh (\pi t )-\cos (\pi x )} $$

donde, $0<x<1.$

Ya he probado la existencia. También me comentó que $J(1-x) =I(x)$

Ahora estoy luchando para calcular $I(x)$ alguna ayuda?

Answer 1

Supongamos $x$ es real y $0< x < 1$, y considerar la posibilidad de $$\DeclareMathOperator{\Res}{Res} f(z) = \frac{z}{\cosh(\pi z) + \cos(\pi x)} $$ tenga en cuenta que $$\cosh(\pi z) + \cos(\pi x) = 2\cos\left(\frac{i\pi z +\pi x}{2}\right)\cos\left(\frac{i\pi z -\pi x}{2}\right)$$ por lo tanto $f(z)$ tiene un primer orden de la pole en $z = i (4n \pm x \pm 1)$$n\in \mathbb{Z}$. Integrar a lo largo del contorno rectangular con altura $2$ da \begin{equation}\tag{1} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) dt - \int_{-\infty}^{\infty} f(t+2i) dt = 2\pi i \Res[f(z),z=i(1-x)] +2\pi i \Res[f(z),z=i(1+x)]\end{equation} $$\implies \int_{-\infty}^{\infty} \frac{-2 i}{\cosh(\pi t)+\cos(\pi x)} dt = \frac{{ - 4xi}}{{\sin (\pi x)}}$$ $$\implies \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\cosh(\pi t)+\cos(\pi x)} dt = \frac{{ 2x}}{{\sin (\pi x)}}$$

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La segunda integral es similar, excepto que ahora suponga $1<x<2$ $(1)$ se convierte en: $$\int_{-\infty}^{\infty} f(t) dt - \int_{-\infty}^{\infty} f(t+2i) dt = 2\pi i \Res[f(z),z=i(x-1)] +2\pi i \Res[f(z),z=i(3-x)]$$ dando a $$\int_{ - \infty }^\infty {\frac{1}{{\cosh (\pi t) + \cos (\pi x)}}dt} = \frac{{2x - 4}}{{\sin (\pi x)}}$$ para $1<x<2$.

Answer 2

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