Determinar el $\lim_{n \to \infty} (2^{n+1} \sin(\frac{\pi}{2^{n+1}}))$

Question

Yo era capaz de calcular $$\lim_{n \to \infty} (2^{n+1} \sin(\frac{\pi}{2^{n+1}})) = \pi$$ usando la Regla de L'Hospital, pero, ¿cómo llegar a $\pi$ sin ella?

Answer 1

Hacer la sustitución

$$\frac{\pi}{2^{n+1}} = \frac 1m\,$$

y utilizar el límite

$$\lim_{m\to \infty}m\sin\left( \frac 1m\right) =1$$

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La prueba de esta segunda notable límite. Para $\alpha\in (0, \pi/2)$, tenemos las desigualdades $$\sin(\alpha) \le \alpha \le \tan(\alpha)\,.$$ Así, podemos hacer las siguientes estimaciones $$m\sin\left( \frac 1m\right) \le 1$$ y $$m\sin\left( \frac 1m\right) = m\sin\left( \frac 1m\right) \frac{\cos\left( \frac 1m\right)}{\cos\left( \frac 1m\right)} = m\cos\left( \frac 1m\right)\tan\left( \frac 1m\right) \ge \cos\left( \frac 1m\right)$$ Por el teorema del sándwich, uno llega a la conclusión.

Answer 2

desde $\sin \left( \frac { \pi }{ 2^{ n+1 } } \right) \overset { n\rightarrow \infty }{ \longrightarrow } 0$ podemos aplicar el famoso límite de $\lim _{ n\rightarrow 0 }{ \frac { \sin { n } }{ n } } =1$ $$\lim _{ n\to \infty } \left( 2^{ n+1 }\sin \left( \frac { \pi }{ 2^{ n+1 } } \right) \right) =\lim _{ n\to \infty } \frac { \sin \left( \frac { \pi }{ 2^{ n+1 } } \right) }{ \frac { \pi }{ 2^{ n+1 } } } \pi =\pi $$

Answer 3

El uso de los equivalentes:

Cerca de $0$,$\sin u\sim u$, por lo que $$2^{n+1}\sin\frac\pi{2^{n+1}}\sim_\infty2^{n+1}\frac\pi{2^{n+1}}=\pi.$$