Distancia promedio entre dos puntos en un cuadrado unitario.

Question

Considera el cuadrado unitario $S = [0,1]\times[0,1]$. Estoy interesado en la distancia promedio entre puntos aleatorios en el cuadrado.

Sean $ \mathbf{a} = \left< x_1, y_1 \right>$ y $ \mathbf{b} = \left< x_2, y_2 \right>$ puntos aleatorios en el cuadrado unitario. Cuando digo aleatorio, quiero decir que $x_i$ e $y_i$ están distribuidos uniformemente en $[0,1]$.

El enfoque habitual es utilizar integración múltiple para determinar el valor promedio de la distancia entre $\mathbf{b}$ y $\mathbf{a}$. Me gustaría intentar otro enfoque.

$\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$ son vectores aleatorios, y cada elemento tiene una distribución conocida. Por lo tanto, el vector entre ellos también tiene una distribución conocida. La diferencia entre dos variables aleatorias uniformes tiene una distribución triangular.

Entonces $\mathbf{c} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$. Luego, la distancia promedio es la esperanza de $\lVert \mathbf{c} \rVert$. Quizás sería más fácil calcular la esperanza de $\lVert \mathbf{c} \rVert^2$.

En cualquier caso, no estoy seguro de cómo calcular la esperanza de $\lVert \mathbf{c} \rVert^2$.

¿Alguien puede guiarme en la dirección correcta?

Answer 1

Esto tiene muy poco que ver con álgebra lineal. La distancia promedio viene dada por la integral:

$$ I = \int_{(0,1)^4}\sqrt{(x-X)^2+(y-Y)^2}\,d\mu.$$ Dado $x$ y $X$, distribuidos uniformemente e independientes en $[0,1]$, la función de densidad de probabilidad de $(x-X)^2$ está soportada en $[0,1]$ y es dada por $-1+\frac{1}{\sqrt{t}}$. De ello se sigue que la función de densidad de probabilidad de $(x-X)^2+(y-Y)^2$ está soportada en $[0,2]$ y es dada por $\pi+t-4\sqrt{t}$ en el intervalo $[0,1]$ y por $-2-t+4\sqrt{t-1}+2\arcsin\left(\frac{2}{t}-1\right)$ en el intervalo $[1,2]$. Esto lleva a:

$$ I = \int_{0}^{1}\sqrt{t}\left(\pi+t-4\sqrt{t}\right)\,dt+\int_{1}^{2}\sqrt{t}\left(-2-t+4\sqrt{t-1}+2\arcsin\left(\frac{2}{t}-1\right)\right)\,dt$$ que se simplifica a: $$ I = \color{red}{\frac{2+\sqrt{2}+5\,\text{arcsinh}(1)}{15}}=0.521405433\ldots$$

Argumentos de convexidad son suficientes para demostrar que $\frac{1}{2}