Convolución correcta?

Question

Quiero convolución de dos cuadrados funciones (literalmente plaza de pulsos). En mi opinión siguiente cálculo es correcto, pero mi maestra me dijo, que no lo es (que yo todavía no tengo el tiempo para hablar con él de nuevo). Mi maestro, mal o me estoy perdiendo algo?

Desde que tengo para expresar las funciones con una variable ficticia, flip y el cambio de uno me sale lo siguiente:

Tan lejos, tan bueno .. Cuando escribo la integral ahora parece que $\int_0^t 2*1 dT$ Desde este soy lo que implica que la convolución y(t) va de 0 a 4, mientras que t < 2. Hacer esto para cada sección, esto se traduce en:

No puedo encontrar un error, espero que alguien me puede decir si esto es correcto o incorrecto.

Answer 1

Nos parece correcto para mí.

Estoy asumiendo que $x(t) = 2 \cdot 1_{[0,2]}(t)$, $h(t) = 1_{[0,4]}(t)$. Entonces tenemos $(x * h)(t) = 2 \int 1_{[0,2]}(\tau) 1_{[0,4]}(t-\tau) \, d \tau = 2 \int 1_{[0,2]}(\tau) 1_{[t-4,t]}(\tau) \, d\tau = 2 \int 1_{[0,2]\cap [t-4,t]}(\tau) d\tau$, de la cual obtenemos $(x * h)(t) = 2 m([0,2]\cap [t-4,t])$ donde $m(\cdot)$ es la longitud del intervalo.

Hay cinco intervalos a considerar en la evaluación de la convolución:

$t\in (-\infty,0)$: $(x * h)(t) = 0$.

$t \in [0,2)$: $(x * h)(t) = 2t$.

$t \in [2,4]$: $(x * h)(t) = 4$.

$t \in (4,6]$: $(x * h)(t) = 12-2t$.

$t \in (6, \infty)$: $(x * h)(t) = 0$.

Este es el mismo que el de su gráfica.