Tiene

Question

Cuando aprendo el siguiente teorema:

Si $I_n$ es el intervalo cerrado y $I_{n+1} \subset I_n$, $$\bigcap I_n \not= \varnothing$ $

y alguien dice si reemplazar con intervalo abierto intervalo cerrado, puede construir un contraejemplo.

Por lo que he intentado construir el: hace $$\bigcap_{n=1}^{+\infty}\left(-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right) = \varnothing\quad?$ $

Muchas gracias.

Answer 1

No. No está vacío. Desde $0\in (-1/n, 1/n)$ % todo $n$, que $0\in\bigcap_{n=1}^\infty \left(-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)$.

Answer 2

No, no está vacía, pero de hecho, si está cerrado $I_n$ y $I_{n+1}\subseteq I_{n}$, que es no lo suficiente como para $$\bigcap_{n=1}^\infty I_n\neq\varnothing.$$ As an example, take the closed intervals $[n,\infty)$. In order for what you have written to hold true, one needs that at least one of the $I_n$ es limitado.

Por último, como otros han señalado, la intersección de conjuntos abiertos que tienes es no vacía desde $0\in\left(-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)$ % todos $n\in\mathbb{N}$. Como un contraejemplo, se puede considerar %#% $ #%

Answer 3

Como ya tienes un montón de buena respuesta a tu pregunta, solo queria comentar sobre la relación con el teorema que se ha referido a. Observe que $J_n\subset I_n$ donde $J_n = [-\frac{1}{2}n,\frac{1}{2}n]$ y así sabemos que $\bigcap\limits_n J_n$ no es vacío. Sin embargo, $\bigcap\limits_n J_n\subset \bigcap\limits_n I_n$ y el último es por lo tanto, no está vacío.

Answer 4

NO!

$$\bigcap_{n=1}^{+\infty}\,\left(-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)\,\neq\, \varnothing$$

¿Por qué no?:
Tenga en cuenta que como $\,n \to \infty,\,$ % de los extremos de los intervalos cada vez más cerca a conseguir $\,0$, pero nunca llegar a $0$, por lo tanto cada intervalo contiene $0\,$: %#% $ de #% hecho,

$$\;0 \in \left(-\dfrac1n, \cfrac1n\right)\;\; \forall n \in \mathbb{N}.$$

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Puede interesarle saber que, por ejemplo, $$\bigcap_{n=1}^{+\infty}\,\left(-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right) = \{0\}.$ $ ' simplemente una cuestión de elegir el correcto extremos de los intervalos abiertos.

Answer 5

No. Como otros han mencionado, contiene $0$.

Pero considerar $I_n = (1-\frac{1}{n},1)$. O, más a su ejemplo, $I_n = (0,\frac{1}{n})$.