De igual área dispersa cáscara esférica de partición

Question

Estoy tratando de resolver un problema concreto que se plantea en un equipo de gráficos de contexto, pero puede ser generalizado a un problema más grande también. No estoy del todo seguro si esta pregunta pertenece a MathExchange, por lo que cualquier sugerencia se agradece enormemente.

Si desea omitir el preámbulo, siéntete libre para ir a la "Principal Problema" de la sección.

El problema original

(un poco de historia, para los que no están dispuestos a equipo de gráficos: mapas de relieve son simplemente imágenes de ordenador en el que cada pixel almacena una normalizado, tridimensional, vector, en lugar de tres discreto color de los valores de intensidad)

Tengo una idea, el otro día, al intentar optimizar el bump/mapeo normal en un muy computación-poder-entorno restringido, para sustituir a mi RGB bump-mapa con una imagen indexada. De esta manera, en lugar de calcular el rayo ecuación/producto escalar para cada píxel en la pantalla, yo sólo sería necesario calcular para cada uno normal almacenados en el índice de la imagen, y reemplazar el índice de la imagen por el equivalente a la intensidad de la luz obtenida para cada uno normal cuando se muestra la imagen. Tiene evidentes deficiencias, tales como la necesidad de un ser infinitamente distante (o en paralelo) de la fuente de luz (en lugar de fuentes de luz puntuales), pero para mis propósitos funciona muy bien.

Así, en un nuevo intento de reducir aún más la potencia de computación necesaria para la operación, y comprimir el mapa aún más, me imaginaba lo que sería necesario para generar un índice ideal, dado un espacio de restricción (la cantidad de las normales). Resulta que es la clave de la idea acerca de mi pregunta que va a resolver esto.

El principal problema

El problema anterior puede ser resuelto por N los índices de si hay una forma de partición de una capa esférica de radio unitario en N la igualdad de la zona shell segmentos por los recortes, como un optimizado Diagrama de Voronoi, aunque en un espacio esférico. La concha de una tortuga es probablemente el mejor en el mundo real de lo analógico a esta idea:

Mi pregunta básicamente se reduce a que, "hay un camino a la partición de una cáscara esférica en N segmentos de la poligonal, similar a un Diagrama de Voronoi (donde los bordes de los polígonos sí mismos son rectas arcos en la superficie de la cáscara y de las propias regiones, son como "uniforme" y dispersas como sea posible sobre la superficie de la cáscara), donde cada uno de los segmentos que ocupan exactamente el mismo shell área?"

Consideraciones

• Supongo que una solución a este problema sería dependiente de algún tipo de restricción, como un conjunto de iniciales vectores u orientaciones. Si es posible, estoy pidiendo el método que requiere la menor cantidad de datos proporcionados por el usuario.
• Aleatorizado métodos no son una opción; estoy en busca de un exacto y repetible de la solución.

Answer 1

Esto no funciona para arbitrario $N$, pero ...

Tomar una inscrito icosaedro, y proyectar sus bordes hacia fuera sobre la superficie de la esfera. Esto le dará 20 idénticos "equilátero" triángulos esféricos que la cubierta de la esfera. Si usted necesita más triángulos, subdividir estos 20. División en 3 es fácil, así que usted puede conseguir partionings que constan de 20, 60, 180, 540 piezas, y así sucesivamente.

Usted podría hacer el mismo tipo de cosa comenzando con un tetraedro, en realidad. Esto le daría particiones con 4, 12, 36, 108 piezas, y así sucesivamente.

De hecho, supongo que se podría utilizar cualquier sólido Platónico como un punto de partida.

Subdividir en 4 triángulos más pequeños (en lugar de 3) podría ser mejor, ya que los triángulos más pequeños serán más casi equilátero.

Answer 2

Si es sólo acerca de la igualdad de área de las piezas de los siguientes es el más simple:

Deje $N=p\cdot q$. Dividir el intervalo de $[{-1},1]$ $z$- eje en $p$ a partes iguales $[z_{k-1},z_k]$ y cruzan la esfera de $S^2$ con los planos equidistantes $z=z_k$. A continuación, se cruzan $S^2$ $q$ meridianal la mitad de los aviones en la igualdad de los ángulos ${2\pi\over q}$. Esto producirá $2q$ triángulos esféricos y $N-2q$ "esféricos rectángulos", todos de la misma zona.

Cuando se quiere mas "redondo" de piezas, mira aquí:

http://en.wikipedia.org/wiki/Fullerene

Aquí la esfera es de triangulación en un panal de abejas, con doce excepcional pentágonos.

Answer 3

Un problema similar ha sido estudiado antes aquí: echa un vistazo a la última página del artículo, donde las particiones de la esfera se presentan. El problema es minimizar la suma de los perímetros de polígonos, manteniendo constante las áreas. El resultado es un hexagonal + $12$ pentágonos de embalaje (por $N \geq 14$). No estoy seguro de que podría conseguir con $N$. En el papel que lo hacen por $N \leq 32$. Para valores grandes puede ser difícil hacer una optimización.

Hice un poco de trabajo recientemente en esto: http://www.lama.univ-savoie.fr/~bogosel/modica_mortola_sphere.html La misma observación: funciona hasta $N=32$, tal vez incluso más, pero por arbitrariamente grande, $N$ los cálculos se ralentizan.

Otra partición uniforme de la esfera de la igualdad de las áreas se presenta a continuación: http://fr.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/13356-eqsp--recursive-zonal-sphere-partitioning-toolbox Esto es rápido, incluso para $N$ mayor que un millón. La ventaja es que funciona con esféricos rectángulos, por lo que cada conjunto de la partición se rige por sólo unos pocos parámetros.