curvas y superficies. la curvatura de una curva regular

Question

Deje $\gamma(t)$ ser un habitual de la curva se encuentra en una esfera $S^2$ centro $(0, 0, 0)$ (origen) y radio de $r$. Demostrar que la curvatura de $\gamma$ es distinto de cero, es decir, $κ \ne 0$.

Además, si la torsión de la curva de $\tau \ne 0$ tenemos:

$\gamma(t)= - p \overrightarrow{n} - p'\alpha \overrightarrow{b} $

donde: $p=1/k, \\ \alpha=1/\tau, \\ r^2=p^2+(p'\alpha)^2 $

Answer 1

Esta es una norma estándar tipo de problema en la geometría diferencial. Suponga $\gamma$ es arclength parametrizar y escribir $\gamma = aT+bN+cB$ donde $T,N,B$ es el marco de Frenet, y $a,b,c$ son lisas. ¿El hecho de que $\gamma$ se encuentra en $S^2$ decir?