Demostrar la convergencia de $\sum_{n\geq 2}\log\left(1-\frac{1}{n^2}\right)$

Question

Cómo probar que la serie $$\sum_{n\geq 2}\log\left(1-\frac{1}{n^2}\right)$$ es convergente? Lo que trata de encontrar la suma?

Mi intento: $$\ln (1-1/n^2)= \ln(n-1) -2\ln n + \ln(n+1)$$ El plazo en el registro está disminuyendo así que tengo la sensación de que la serie converge pero confundido de cómo probar esto y también encontrar la suma.

Answer 1

$$\sum_{n=2}^{N}\log\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\log\prod_{n=2}^{N}\left(1-\frac{1}{N}\right)\left(1+\frac{1}{N}\right) = \log\frac{N+1}{2N}$$ así que la serie converge a $\color{red}{-\log 2}$.

Answer 2

$$\sum_{n=2}^\infty\ln (1-1/n^2)=\ln\prod_{n=2}^\infty\frac{n^2-1}{n^2}=\ln\lim_{N\to\infty}\prod_{n=2}^N\frac{n-1}n\prod_{n=2}^N\frac{n+1}n$$ Ahora tenga en cuenta que $$\frac12\cdot\frac23\cdot\ldots\frac{n+1}n=\frac1n\\ \frac32\cdot\frac43\cdot\ldots\frac n{n+1}=\frac n2$$

Por lo tanto, la respuesta es $$\ln\frac12=-\ln2$$

Answer 3

$$log(1-\frac{1}{n^2})= \\log(\frac{n^2-1}{n^2})=\\log(\frac{n-1}{n})+log(\frac{n+1}{n})\\s_{1}+s_{2}\\s_{1}=log(\frac{2-1}{2})+log(\frac{3-1}{3})+log(\frac{4-1}{4})+...++log(\frac{n-1}{n})=\\+log(\frac{1}{2}\frac{2}{3}\frac{3}{4}...\frac{n-1}{n})\\=log(\frac{1}{n})\\$$ $$ s_{2}=log(\frac{2+1}{2})+log(\frac{3+1}{3})+log(\frac{4+1}{4})+...++log(\frac{n+1}{n})=\\log(\frac{3}{2}\frac{4}{3}\frac{5}{4}...\frac{n+1}{n})\\=log(\frac{n+1}{2})\\s_{1}+s_{2}=\\log(\frac{1}{n})+log(\frac{n+1}{2})=log(\frac{n+1}{2n}) \rightarrow de registro(\frac{1}{2}) $$

Answer 4

Su idea es buena: calcular el $N$-ésima suma parcial. Usted observará que se admite un límite, porque es una suma telescópica. Definir, de hecho, $a_n:= \log n$ y el aviso de que $\sum_{j=2}^Na_{j-1}-a_j=a_1-a_N$, $\sum_{j=2}^N-a_{j}+a_{j+1}=a_{N+1}-a_2$ y $\lim_{N\to \infty}a_{N+1}-a_N=0$.

Answer 5

Deje $a_n = \ln(n+1) - \ln(n)$, lo que significa $\ln \left(1-\frac{1}{n^2} \right ) = a_n - a_{n-1}$. Es fácil ver que $a_n \to 0$$n \to \infty$. Así que el dado de la serie converge y la suma es $-a_1 = -\ln(2)$