Densidad de estados en $k$ espacio para la BCS de Hamilton

Question

Me gustaría entender cómo podemos encontrar la densidad de estados en $k$ espacio para la BCS de Hamilton.

En primer lugar, vamos a hablar de los electrones libres. Cuando nos ocupamos de electrones libres, el Hamiltoniano es $\frac{p^2}{2m}$ y es más simple de escribir en $k$ espacio: $$H=\frac{h^2k^2}{2m}.$$

Un autovector es, a continuación, $\psi_k=\delta(k-k_0)$ y sabemos de muchos modos tenemos en un intervalo de $dk$ a causa de la serie de Fourier. Si tenemos una función confinado en una caja de tamaño $L$, se puede periodizar la función con el período de $L$ en todo el espacio, y dos modos de Fourier estarán separados por $\frac{2 \pi}{L}$.

Por lo tanto, tenemos $\rho(k)dk= \frac{Ldk}{2 \pi}$ modos en $dk$.

Para resumir: el $k$ es realmente un modo de Fourier aquí. Y porque de la transformada de Fourier de la teoría sé cuántos modos tengo en $dk$.

Ahora, vamos a hablar acerca de la BCS de Hamilton,

$$ H=\sum_{k,\sigma} E_k \hat{a}^{\dagger}_{k, \sigma}\hat{a}_{k, \sigma} -|g_{eff}|^2 \sum_{k_1, k_2, \sigma_1, \sigma_2}\hat{a}^{\dagger}_{k1+q, \sigma_1}\hat{a}^{\dagger}_{k2-q, \sigma_2}\hat{a}_{k2, \sigma_2}\hat{a}_{k1, \sigma_1}$$

y después de diagonalisation, tenemos

$$ H= \sum_k E_k \gamma^{\dagger}_{k+}\gamma_{k+} -E_k \gamma^{\dagger}_{k-}\gamma_{k-}.$$

Tomo nota de $$|\phi^+_k\rangle=\gamma^{\dagger}_{k+}|0\rangle_{BCS}.$$

$k$ ahora es sólo un número cuántico utiliza para "nota" un autovector, es no un modo de Fourier. ¿Cómo se puede determinar la densidad de estados en $k$ espacio ahora?

Answer 1

Que casi consigue el punto, aunque el "modo de Fourier" no es la terminología correcta aquí. El problema con BCS quasiparticles es que no son de electrones modos, pero electrón-hueco superposición de los modos. Esto significa que el quasiparticle es parcialmente electrones y parcialmente agujero (sus probabilidades de uno). Por otro lado, la densidad del estado (medido en el STM o ARPES experimentos) sólo cuenta la densidad de electrones componente, por lo tanto cada quasiparticle modo en el espectro debe ser ponderado por la parte (la probabilidad) de electrones en ese modo. Por lo que conocer la BCS quasiparticle dispersión no es suficiente para calcular la densidad de estado, también debemos saber la cantidad de componentes electrónicos en cada punto. Uno puede continuar con esta idea y llevar a cabo el cálculo, pero esto de pregrado a nivel de enfoque no es sistemática y es a veces tedioso.

Así que vamos a introducir la teoría cuántica de campos enfoque para calcular la densidad de estado de forma sistemática, que se aplica tanto a la normal metales y BCS superconductores. La observación clave es que los electrones de la banda (relación de dispersión) no está bien definida en BCS superconductores más, éste debe ser reemplazado por el concepto de electrón espectral de peso en el impulso-el espacio de frecuencia. La espectral de peso (o de la función espectral) $A(\omega,\boldsymbol{k})$ describe la densidad de probabilidad de observar un electrón modo en frecuencia $\omega$ e ímpetu $\boldsymbol{k}$. Entonces la densidad de estado (DOS) es la integral de la espectral de peso sobre el impulso de espacio o a través de la zona de Brillouin (BZ) $$\text{DOS}(\omega)=\int_\text{BZ} A(\omega,\boldsymbol{k})\mathrm{d}^d\boldsymbol{k}.$$ La función espectral puede ser calculado como la parte imaginaria de los electrones de la función de Green $A(\omega,\boldsymbol{k})=-2\text{Im}G(\omega+\text{i}0_+,\boldsymbol{k})$, donde el Verde de la función se define como: $G(t-t',\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}')=-\langle c(t,\boldsymbol{x})c^\dagger(t',\boldsymbol{x}')\rangle$ en el espacio-tiempo, y dado por $G(\omega,\boldsymbol{k})=(\omega-h(\boldsymbol{k}))^{-1}$ después de la transformación de Fourier para el impulso-el espacio de frecuencia.

Ahora aplicamos este enfoque de la BCS superconductor descrito por el siguiente Hamiltoniano $$H_\text{BCS}=\sum_{\boldsymbol{k}}c_{\boldsymbol{k}\sigma}^\dagger \epsilon_{\boldsymbol{k}} c_{\boldsymbol{k}\sigma}+\Delta(c_{\boldsymbol{k}\uparrow}c_{-\boldsymbol{k}\downarrow}+\text{h.c.}),$$ con $\epsilon_{\boldsymbol{k}}=\boldsymbol{k}^2/(2m)-\mu$ $\Delta\in\mathbb{R}$ por ejemplo. En la Nambu base $\psi_{\boldsymbol{k}}=(c_{\boldsymbol{k}\uparrow},c_{-\boldsymbol{k}\downarrow}^\dagger)$, $$\begin{split}H_\text{BCS}&=\sum_{\boldsymbol{k}}\psi_{\boldsymbol{k}}^\dagger h(\boldsymbol{k})\psi_{\boldsymbol{k}},\\ h(\boldsymbol{k})&=\epsilon_{\boldsymbol{k}}\sigma^3+\Delta\sigma^1,\end {split}$$ donde $\sigma^3$ $\sigma^1$ el valor de las matrices de Pauli que actúa sobre la Nambu spinor $\psi_{\boldsymbol{k}}$. La función de Green de la Nambu spinor está dada por $$G(\omega,\boldsymbol{k})=(\omega-h(\boldsymbol{k}))^{-1}=\frac{\omega\sigma^0+\epsilon_{\boldsymbol{k}}\sigma^3+\Delta\sigma^1}{\omega^2-\epsilon_{\boldsymbol{k}}^2-\Delta^2}.$$ Tenga en cuenta que esta $G(\omega,\boldsymbol{k})$ $2\times 2$ de la matriz en cada impulso-el punto de la frecuencia. El (1,1)-componente $G(\omega,\boldsymbol{k})_{11}$ corrsponds a la correlación $-\langle c_{\boldsymbol{k}\uparrow}c_{\boldsymbol{k}\uparrow}^\dagger\rangle$ y es, por tanto, la función de Green de la spin del electrón. Esperamos que la función de Green de la abajo-spin de electrones a ser el mismo que el spin del electrón debido a la reversión de la simetría. Con esto, se pueden calcular los electrones de la función espectral $$A(\omega,\boldsymbol{k})_{11}=-2\text{Im}G(\omega+\text{i}0_+,\boldsymbol{k})_{11}.$$ El resultado se muestra en la siguiente figura. Color más oscuro significa mayor espectral de peso y mayor probabilidad de observar el electrón en este momento-el punto de la frecuencia.

Uno puede ver la dispersión de electrones (que se abren hacia arriba) es una especie de "roto" y la transición gradual en el agujero de la dispersión (apertura hacia abajo) a través de Fermi impulso con la espectral de peso que se desvanezca como de profundizar más en el agujero de la banda. Esto es normalmente lo que puede ser visto en la ARPES experimento. Ahora la densidad de estado se pueden obtener simplemente el colapso de la espectral de peso para el espacio de frecuencia (por integrar a cabo el impulso), que da algo como lo siguiente (digamos en 2D),

Se puede observar la BCS brecha de $2\Delta$ a través de la energía de Fermi ($\omega=0$). Dos superconductores coherencia picos aparecen en la brecha de los bordes, como los electrones se agota en la brecha y se apilan a la coherencia de los picos. En este ejemplo, el espacio tiene una forma de U , porque la superficie de Fermi es totalmente aislados. En $d$-onda superconductores como cuprates donde el espectro es nodal, habrá una forma de V de la brecha en lugar de la densidad del estado. Esto es lo que puede verse en el STM $\text{d}I/\text{d}V$ (diferencial de conductancia) espectro.