Una pregunta esencial de la representación en C*-álgebra

Question

Hay una cita de un libro "C*-álgebras Finito-Dimensional Aproximaciones" a continuación:

Definición 1.7.4. Una representación $\pi: A \rightarrow B(H)$ se llama esencial si $\pi(A)$ no contiene un valor distinto de cero compacto de los operadores. ($A$ es una C*-álgebra.)

Representaciones esenciales son fáciles de construir: si $\pi: A\rightarrow B(H)$ es cualquier representación, entonces su infinita la inflación (es decir, la suma directa de un número infinito de copias de $\pi$) será esencial.

No puedo entender por qué la construcción, sobre que es lo esencial?

Answer 1

La afirmación es que para cualquier $x\in A$, $\bigoplus x$ no es compacto cuando la suma es infinita. Este nuevo operador que actúa sobre una infinita suma directa de espacios de Hilbert. La imagen de la unidad de la bola de $H_1$ será la suma directa de $xH_1$ (se puede jugar con los vectores que tienen un único distinto de cero directa sumando), que no es compacto.