La extensión cuadrática no ramificada de $\mathbb{Q}_2$

Question

Sé que hay $7$ extensiones de campo de $\mathbb{Q}_2$ de grado $2$ (esto se deduce del lema de Hensel) y creo que estos son $$\mathbb{Q}_2(\sqrt{2}), \mathbb{Q}_2(\sqrt{3}), \mathbb{Q}_2(\sqrt{5}), \mathbb{Q}_2(\sqrt{6}), \mathbb{Q}_2(\sqrt{7}), \mathbb{Q}_2(\sqrt{10}), \mathbb{Q}_2(\sqrt{14}).$$ ¿Es fácil ver cuál de ellas es la extensión no ramificada?

Mi intuición es $\mathbb{Q}_2(\sqrt{5})$ pero no estoy seguro de cómo probarlo.

Answer 1

La extensión no ramificada contiene raíces primitivas de la unidad de orden $2^2-1=3$ . Por lo tanto, tiene un elemento que se parece a $\omega=(-1+\sqrt{-3})/2$ . Esto nos dice que $\Bbb{Q}_2(\sqrt{-3})$ es la no ramificada.

Pero cuál de la lista es igual a $\Bbb{Q}_2(\sqrt{-3})$ ?

Una pista: Un resultado conocido nos dice que un número entero $m$ tiene una raíz cuadrada en $\Bbb{Q}_2$ si y sólo si $m=4^\ell\cdot k$ con $k\equiv1\pmod{8}$ .

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Otra vía para llegar a su conclusión sería observar que la tercera raíz de la unidad es un cero del polinomio $x^2+x+1$ . Como este polinomio es separable módulo dos, y $$ x^2+x+1\equiv x^2-x-1\pmod2 $$ Hensel nos dice entonces que los ceros de $x^2-x-1$ pertenecen al campo $\Bbb{Q}_2(\omega)$ . Pero probablemente conozcas los ceros de este polinomio por su contexto de Fibonacci.