Como veo que has preguntado esto hace tiempo, voy a responder ahora a una de tus preguntas; te voy a dar una solución a tu primer problema que lo relaciona con el Teorema de la Categoría de Baire. Tengo algunas ideas sobre tu segunda pregunta, y si no aparece nadie más para responderla mientras tanto, intentaré aportar algo más tarde. ( Añadido: Véase más abajo).
Si $f:\mathbb R^+\to\mathbb R^+$ es continua y $\lim_{n\to\infty}{f(nx)}=0$ por cada $x\in\mathbb R^+$ queremos demostrar que $\lim_{x\to\infty}{f(x)}=0$ .
Arreglar algunos $\epsilon>0$ . Los conjuntos $E_N=\{x: n \geq N \implies f(nx)\leq \epsilon\}$ están cerradas (escribir $E_N$ como la intersección sobre $n\geq N$ de los conjuntos $\{x:f(nx)\leq\epsilon\}$ que se cierran por la continuidad de $x\mapsto f(nx)$ ). Por otro lado, la suposición $f(nx)\to0$ que está hecho para cada $x>0$ garantiza que se pueda escribir $\mathbb R^{+}$ como la unión de los $E_N$ . El Teorema de la Categoría Baire dice que al menos uno de ellos, digamos $E_{N}$ contiene un segmento abierto $(a,b)$ . Por lo tanto, si $n\geq N$ y $t\in(na,nb)$ entonces $f(t)\leq \epsilon$ . Pero para algún número entero positivo $M\geq N$ (cualquier $M$ más grande que $a/(b-a)$ será suficiente), \begin{equation*} (Ma,\infty)=\bigcup_{n\geq M}(na,nb). \end{equation*} Así que si $t>Ma$ entonces $f(t)\leq\epsilon$ lo que demuestra que $f(t)\to0$ como $t\to\infty$ .
Aquí hay algunas ideas para tu segunda pregunta, por ahora -como dije- actualizaré más tarde si nadie lo termina. Deja que $$ P=\left\{x>0:\lim_{n\to\infty}{f(nx)}\text{ exists}\right\}. $$ Si $P=\mathbb R^+$ el argumento anterior puede ser modificado para asegurar que $\lim_{x\to\infty}{f(x)}$ existe, o puedes usar el argumento del libro que enlazaste. Usted quiere asumir sólo que $P$ es cerrado sin ningún punto aislado, es decir, que $P$ es perfecto. En ese caso, creo que puedo modificar el argumento de la BCT para demostrar que $\lim_{x\to\infty\atop x\in P}{f(x)}$ existe. ( Editar: Después de pensar un poco en esto no creo que sea tan sencillo como parecía inicialmente demostrar que $\lim_{x\to\infty\atop x\in P}{f(x)}$ existe; de hecho, ni siquiera estoy completamente seguro de que sea necesariamente cierto).
Aquí hay un par de observaciones sencillas de entrada (aunque no estoy seguro de que lleven a la dirección correcta...):
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Si $x\in P$ entonces $nx\in P$ para $n=1,2,3,\dots$
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Si $P$ contiene un intervalo, entonces $P=\mathbb R^+$ . Por lo tanto, si $P$ es denso en cualquier lugar, entonces $P=\mathbb R^+$ . Si $P$ contiene puntos arbitrariamente cercanos a cero, entonces $P$ es denso en 1., por lo que $P=\mathbb R^+$ . Así que podemos suponer que $P\subset[\epsilon,\infty)$ para algunos $\epsilon>0$ y que $P$ no es denso en ninguna parte.
Añadido: Después de hablar con varias personas más experimentadas sobre tu segundo problema (tal y como lo he planteado arriba), parece que es probable que sea falso, pero que construir un contraejemplo puede ser difícil. Esto es lo esencial de la dificultad. Si tomas un subconjunto perfecto totalmente desconectado $E$ de $[1,2]$ y que $P=\bigcup nE$ entonces $P$ es un subconjunto perfecto totalmente desconectado de $\mathbb R^+$ satisfaciendo el 1. anterior. Puede tomar $g$ sea una función constante en $P$ y ampliar $g$ a una función continua $f$ en $[0,\infty)$ tal que $\lim_{x\to\infty}{f(x)}$ no existe. Si $G$ es el complemento de $P$ La dificultad radica en responder a la pregunta de si $\lim_{n\to\infty}{f(nx)}$ existe necesariamente para algunos $x\in G$ . No estoy exactamente seguro de cómo hacerlo, pero si la respuesta es no, entonces tenemos un contraejemplo.
Por último, no estoy muy seguro de que el problema original fuera pedir todo esto. La redacción del libro que citas es la siguiente:
Demostrar que si $f\in C([0,+\infty))$ y el límite $\lim_{n\to\infty}{f(nx)}$ existe para cualquier $x\geq0$ , entonces el límite $\lim_{x\to\infty}{f(x)}$ existe. Pruebe esto si el límite $\lim_{n\to\infty}{f(nx)}$ sólo existe para los puntos $x$ en algún conjunto cerrado no vacío sin puntos aislados.
Para tomarlo al pie de la letra, hay que tener en cuenta que $\lim_{n\to\infty}{f(n\cdot0)}$ ciertamente existe, por lo que el conjunto en el que $\lim_{n\to\infty}{f(nx)}$ existe es un conjunto perfecto $E$ que contiene cero con la propiedad 1. anterior, es decir $x\in E\implies nx\in E$ para todos los enteros positivos $n$ . De ello se deduce que $E=[0,\infty)$ y el problema se reduce a la pregunta inicial. Fue la palabra "no vacío" en las hipótesis lo que inicialmente me hizo creer que no era la interpretación que pretendían los autores, pero cuanto más lo pienso, más probable me parece que lo fuera (sobre todo teniendo en cuenta que el libro está traducido).
