El límite de $S_n=\sum_{k=1}^{n} \frac{kn}{k+n^3}$

Question

Dado $n>1$ $S_n=\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{kn}{k+n^3}$

Calcular el $\lim\limits_{n \to \infty} S_n $

Además de su obvio que $\frac{n^2}{n^3+n} \leq S_n\leq \frac{n^3}{n^3+1}$

$S_n$ converge a un límite de $l$ tal que $0\leq l \leq 1$

¿Cómo podemos determinar el valor de $l$ ?

Answer 1

Este problema puede ser abordado por el teorema del sándwich plus suma de riemann.

Tenga en cuenta que $$S_n=\sum^n_{k=1}\frac{\frac{k}n}{\frac{k}{n^3}+1}\frac1n$$

Podemos obtener la siguiente desigualdad fácilmente

$$\sum^n_{k=1}\frac{\frac{k}n}{\frac{n}{n^3}+1}\frac1n\le S_n\le\sum^n_{k=1}\frac{k}n\frac1n$$

Tomando el límite de $n\to\infty$, el límite inferior de los enfoques $$\lim_{n\to\infty}\left(\frac1{\frac1{n^2}+1}\right)\int^1_0xdx=\frac12$$

El límite superior de los enfoques $$\int^1_0xdx=\frac12$$ así.

Por el teorema del sándwich, $$\color{red}{\lim_{n\to\infty}S_n=\frac12}$$

(Esto está de acuerdo con su expectativa de que el límite entre el$0$$1$.)

Answer 2

También puede obtener el resultado si sólo estimar el denominador con el fin de obtener mejor los límites: $$\frac{1}{2} \stackrel{n\to\infty}{\longleftarrow}\frac{n(n+1)}{2(1+n^2)} = \frac{n}{n+n^3} \sum \limits_{k=1}^n k \leq S_n \leq \frac{n}{1+n^3} \sum \limits_{k=1}^n k = \frac{n^2(n+1)}{2(1+n^3)} \stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow} \frac{1}{2}\, . $$

Answer 3

Si usted está familiarizado con la armónica de los números de$$S_n=\sum_{k=1}^{n} \frac{kn}{k+n^3}=n^4 \left(H_{n^3}-H_{n^3+n}\right)+n^2$$ Ahora, usando la asymptotics $$H_p=\gamma +\log \left({p}\right)+\frac{1}{2 p}-\frac{1}{12 p^2}+O\left(\frac{1}{p^4}\right)$$ y aplicar daría $$S_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{2 n}-\frac{1}{3 n^2}-\frac{1}{2 n^3}+O\left(\frac{1}{n^4}\right)$$ que muestra el límite y cómo abordarla.

Además, esto le da una buena aproximación. Por ejemplo, el valor exacto $$S_{10}=\frac{102209264496236445266975}{187134762733574325443631}\approx 0.546180$ $ , mientras que la mencionada ampliación daría $$ \frac{3277}{6000}\approx 0.546167$$