Dado $X \subset \mathbb{R}^{n}$ conectado, si $A \subset X$ es tal que $\partial A \cap X = \emptyset$, $A = \emptyset$ o $A=X$

Question

Considerar las declaraciones:

(i) $X \subset \mathbb{R}^{n}$ está conectado;

(ii) Si $A \subset X$ es tal que $\partial A \cap X = \emptyset$, $A = \emptyset$ o $A=X$.

Demostrar que (i) implica (ii), pero el recíproco es falso.

Supongamos $A \subset X$ es tal que $A \neq \emptyset$$A \neq X$. Desde $A \subset X$, $A \cup \partial A = \overline{A} \subset \overline{X}$. Por lo tanto, $(\partial A \cap \overline{X}) \neq \emptyset$, pero $\overline{X} = X \cup X'$, lo $(\partial A \cap X) \cup (\partial A \cap X') \neq \emptyset$.

Eso es todo lo que tengo. Mi idea es cubrir $X \subset A_{1} \cup A_{2}$, de modo que $(\partial A \cap X)$ sería parte de las $A_{1}$ con el fin de utilizar la conexión. Cualquier sugerencia?

Por el contrario, no tengo idea. Estoy tratando de conseguir contraejemplos en $\mathbb{R}^{2}$$\mathbb{R}^{3}$. Estoy pensando en la primera de un conjunto que satisface (ii), pero en todos los casos tengo un conjunto conectado.

Answer 1

Suponga que $X$ está conectado y deje $A \subseteq X$ tal que $\partial A \cap X = \emptyset$. Vamos a mostrar que el $A$ es a la vez abierto y cerrado en $X$.

Recordemos que $\overline{A} = \operatorname{Int} A \cup \partial A$.

Tenemos $A = X \cap \operatorname{Int} A$. De hecho, claramente $X \cap \operatorname{Int} A \subseteq X \cap A = A$. Por el contrario, $$A = X \cap A \subseteq X \cap (\operatorname{Int} A \cup \partial A) = (X \cap \partial A) \cup (X \cap \operatorname{Int} A) = X \cap \operatorname{Int} A$$ así que tenemos que $A$ está abierto en $X$.

También tenemos $A = X \cap \overline{A}$ porque

$$X \cap \overline{A} = X \cap (\operatorname{Int} A \cup \partial A) = (X \cap \partial A) \cup (X \cap \operatorname{Int} A) = A$$

por lo $A$ es cerrado en $X$. Si $A \ne \emptyset, X$ $(A, X\setminus A)$ sería una separación de $X$, lo cual es imposible ya que $X$ está conectado.

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Para un contraejemplo a la inversa deje $X$ ser cualquier desconectado subconjunto cerrado de $\mathbb{R}^n$. Si $A \subseteq X$ es tal que $\partial A \cap X = \emptyset$,$\partial A \subseteq \overline{A} \subseteq \overline{X} = X$$\partial A = \partial A \cap X = \emptyset$.

De ello se desprende que $A$ es a la vez abierto y cerrado en $\mathbb{R}^n$. De hecho, tenemos $\overline{A} = \operatorname{Int} A \cup \partial A = \operatorname{Int} A$$\operatorname{Int} A = A = \overline{A}$. Desde $\mathbb{R}^n$ está conectado, llegamos a la conclusión de $A = \emptyset$ o $A = \mathbb{R}^n$, pero el último es imposible, porque la $A \subseteq X \ne \mathbb{R}^n$.

Por lo tanto $A = \emptyset$ $X$ satisface la propiedad $(2)$ pero no está conectado.