Cuando el operador lineal alcanza su máximo en un conjunto convexo

Question

Deje $f$ ser distinto de cero lineal continua y funcional en un espacio de Banach $X$. es decir, $$f:X\rightarrow\mathbb{R}$$ es lineal y acotado. Deje $E$ ser no vacío, cerrado conjunto convexo $X$ tal que $$sup_{x\in E} |f(x)|$$ es alcanzado. A continuación, mostrar que el supremum se alcanza en algún punto extremo de E.

Ahora bien, si la suposición de que incluye el conjunto de $E$ también es compacto entonces el supremum debe ser attaind (por el teorema del valor extremo) más por Krein - Milman teorema podemos garantizar que se alcanza en algún punto extremo.

Pero, ¿qué acerca de mi pregunta ? ¿Hay algún recurso o libro para encontrar la prueba ?

Answer 1

La declaración dada no es cierto. Tomar $$ E = [0,1] \times \mathbb R $$ y $$ f(x,y)=x. $$ A continuación, el supremum es alcanzado en la línea $\{1\}\times \mathbb R$. Sin embargo $E$ no tiene punto extremo.

Usted tiene que excluir por supuesto que el mínimo de $f$ es alcanzado en una línea, las líneas no tienden a tener puntos extremos.