Último Teorema de Fermat con exponente negativo

Question

FLT dice que la ecuación Diophantine $a^n+b^n=c^n$ no está satisfecho por cualquier triplete $(a,b,c)$ donde$n\in\mathbb{N}$$n>2$.

Pero, ¿qué sucede si $n\in\mathbb{Z}$, por lo que puede ser negativo?

$\textbf{My first thoughts:}$ Si tenemos un exponente negativo junto con un real $a^s$ que puede re-escribir como $1/a^{-s}.$ Así que si $n\in\mathbb{Z}$, la FLT ecuación toma la basura formulario de $$\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}=\frac{1}{c^n}$$ lo que significa que $$\frac{a^n+b^n}{(ab)^n}=\frac1{c^n}$$ $$\frac{(ab)^n}{a^n+b^n}=\frac{c^n}1$$ $$(ab)^n=(ac)^n+(bc)^n$$ $ab$, $ac$ y $bc$ son todos los elementos del entero conjunto comúnmente denotado como $\mathbb{N}$, por lo tanto, llegar a una ecuación de Diophantine que es equivalente a la primera que hemos visto. Por lo tanto, la ecuación de Diophantine $a^n+b^n=c^n$ no está satisfecho por cualquier triplete $(a,b,c)$ donde $n\in\mathbb{Z}$ $\mathbf{\color{red}{|n|>2}}$ donde $|x|$ es el valor absoluto del número de $x$.

Es mi prueba correcta?

Además, ¿qué sucede cuando el triplete $(a,b,c)\in\mathbb{Z}^3$?

Answer 1

Deje $m<-2$$a^m+b^m=c^m$. Deje $n=-m>2$ y multiplicar la ecuación por $(abc)^n$. Ahora $$ (bc)^n + (ac)^n = (ab)^n. $$

Answer 2

Si tuvieras $a^{-5}+b^{-5}=c^{-5}$

entonces usted también tendría $(\frac{d}{a})^{5}+(\frac{d}{b})^{5}=(\frac{d}{c})^{5}$ cualquier $d$

pero si elegimos $d = lcm(a,b,c)$, entonces tenemos una solución a $a^5+b^5=c^5$ en números enteros.

Así que sólo podemos resolver para $-n$, si podemos resolver para $n$.